Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 400 N·m diberikan di C, 1,2 m dari A dan 0,8 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 1,2 mb = 0,8 m

T_A = N·m

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 5,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 60 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 40 kN·m

σ_atas = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 6 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 20,39 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/9,809 × 10⁻⁶ = 20390 N = 20,39 kN

Jawaban

P = 20,39 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 13,29 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 70000·1257/500 = 175929 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·175929/421366 = 16701 N

Tegangan

σ₂ = 16701/1257 = 13,29 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 13,29 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,7183 °

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Jawaban

φ = 0,7183°

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 160 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·0,8/2 = 160 N·m

T_B = 400·1,2/2 = 240 N·m

Jawaban

T_A = 160 N·m

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 4,125 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Potong di x = 5,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 9·5,5 − 3·5,5·2,75 = 4,125 kN·m

Jawaban

M_x = 4,125 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 52 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 8·6·3

R_B = 204/6 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 34 = 74 kN

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 74·4 − 60·(4 − 1) − 8·4·2 = 52 kN·m

Jawaban

M_x = 52 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·100 − 1257·60)/(24000 − 1257) = 102,2 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,21² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−42,21² = 2,365 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 170,8 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

badan: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·115 + 2000·50)/6800 = 95,88 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·30³/12 + 4800·(115 − 95,88)² = 2,114 × 10⁶ mm⁴

badan: 20·100³/12 + 2000·(50 − 95,88)² = 5,877 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,114 × 10⁶ + 5,877 × 10⁶ = 7,991 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 130 − 95,88 = 34,12 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·34,12/7,991 × 10⁶ = 170,8 MPa

Jawaban

σ_atas = 170,8 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −70,67 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −20 − 80) = −141,3°

Sudut pada elemen

θ_p = −70,67°

Jawaban

θ_p = −70,67°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 90 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 40 + −80·0 + 50·1 = 90 MPa

Jawaban

σ_θ = 90 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 9,306 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 9,306 mm

Jawaban

δ_max = 9,306 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 27 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN

Jawaban

R_B = 27 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 25,63 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25,63 kN

Jawaban

P_cr = 25,63 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 2,763 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Jawaban

σ_cr = 2,763 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials