Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 50 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 500 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 30 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 45 kN di 1 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 2,5 m

M_A = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 50 kN di 1 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 200 mm, tinggi luar H = 350 mm, dan tebal dinding seragam t = 10 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 200 mmH = 350 mmt = 10 mm

r = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 120 × 20 mm, badan setinggi 390 mm dan setebal 12 mm, dan sayap bawah 190 × 20 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 120 × 20 mmbadan: 12 × 390 mmsayap bawah: 190 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 120 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 250 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = −10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 18 kNa = 1 mL = 8 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari besar momen lentur M_A di ujung jepit.

L = 3 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 53,17 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2,315 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/4,702 × 10⁻⁶ = 53165 N = 53,17 kN

Jawaban

P = 53,17 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,78 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·2827/300 = 1,037 × 10⁶ N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 50000·1,037 × 10⁶/1,874 × 10⁶ = 27654 N

Tegangan

σ₂ = 27654/2827 = 9,78 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,78 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 94,31 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa

Jawaban

τ_max = 94,31 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 41,5 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/575243 = 41,5 MPa

Jawaban

τ_max = 41,5 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −63,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −6·2,5²/2 = −18,75 kN·m

M_A = −45 − 18,75 = −63,75 kN·m

Jawaban

M_A = −63,75 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 81,67 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 12·6·3

R_B = 266/6 = 44,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 122 − 44,33 = 77,67 kN

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 77,67·2,5 − 50·(2,5 − 1) − 12·2,5·1,25 = 81,67 kN·m

Jawaban

M_x = 81,67 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 128,7 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 180 mm, h = 330 mm

A = BH − bh = 200·350 − 180·330 = 10600 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,755 × 10⁸ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,755 × 10⁸/10600) = 128,7 mm

Jawaban

r = 128,7 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 312,5 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2400 mm², y = 420 mm

badan: A = 4680 mm², y = 215 mm

sayap bawah: A = 3800 mm², y = 10 mm

Titik berat

ȳ = (2400·420 + 4680·215 + 3800·10)/10880 = 188,6 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 120·20³/12 + 2400·231,4² = 1,286 × 10⁸ mm⁴

badan: 12·390³/12 + 4680·26,38² = 6,258 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 190·20³/12 + 3800·178,6² = 1,214 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,286 × 10⁸ + 6,258 × 10⁷ + 1,214 × 10⁸

I_x = 3,125 × 10⁸ mm⁴ = 312,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 312,5 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 72,71 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 115 MPa, R = √(5² + 30²) = 30,41 MPa

σ₁ = 145,4 MPa, σ₂ = 84,59 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60,83, 145,4, 84,59)/2 = 72,71 MPa

Jawaban

τ_abs = 72,71 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,831

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −15 MPa, R = 50,25 MPa

σ₁ = 35,25 MPa, σ₂ = −65,25 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(35,25² − 35,25·(−65,25) + (−65,25)²) = 88,32 MPa

n = 250/88,32 = 2,831

Jawaban

n = 2,831

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 20,88 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1000²·7000²/(3·1,76 × 10¹²·8000) = 20,88 mm

Jawaban

δ_P = 20,88 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: M_A = 11,25 kN·m

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11,25 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 45 − 33,75 = 11,25 kN·m

Jawaban

M_A = 11,25 kN·m

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 139,5 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Jawaban

P_cr = 139,5 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 30,71 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Jawaban

σ_cr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials