Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
100 kNØ25120 GPaØ120/70600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø40110 GPaØ120/50500 mm

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 100 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 100 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 100 N·mdi/do = 0,6τallow = 80 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
d = ?5 kW, 500 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 5 kW pada 500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 20 kNP2​ = 70 kNAB1,5 m1 m3,5 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP1 = 20 kN di 1,5 mP2 = 70 kN di 2,5 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mABC6 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 7,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
MB = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 230d = 210dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 230 mm dan diameter dalam d = 210 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 230 mmd = 210 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
190500146xM = 50 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 190 mm dan setebal 14 mm, tinggi total 500 mm, dan badan setebal 6 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 50 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 190 mmH = 500 mmtf = 14 mmtw = 6 mmM = 50 kN·m
σj = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 40σy​ = 40MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 40 MPa dan σᵧ = 40 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 85 MPa?

σx = 40 MPaσy = 40 MPaσ1 = 85 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan momen lentur sebesar 750 N·m bersama torsi 500 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 500 N·m
σ1 = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 24 kNABδ4,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 4,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 24 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m50 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,06039 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·600/9,935 × 10⁸ = 0,06039 mm

Jawaban

δ = 0,06039 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 1163 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1,279 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0009091) = 0,0009091 (perunggu)

Beban terbesar

Pmax = 0,0009091·1,279 × 10⁹ = 1,163 × 10⁶ N = 1163 kN

Jawaban

Pmax = 1163 kN
3.Torsi poros

Jawaban: do = 19,41 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·80·0,8704)) = 19,41 mm
di = 0,6·19,41 = 11,65 mm

Jawaban

do = 19,41 mm

Poros pejal memerlukan d = 18,53 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 37,15 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·95493/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 37,15 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(18,25, 37,15) = 37,15 mm

Jawaban

d = 37,15 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 119,6 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1,5 + 70·2,5
RB = 205/6 = 34,17 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 34,17 = 55,83 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·1,5 = 55,83·1,5 = 83,75 kN·m
di bawah P2: M = RB·3,5 = 34,17·3,5 = 119,6 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 119,6 kN·m (di bawah P2)

Jawaban

Mmax = 119,6 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MB = −9 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·7,5·3,75
RB = 225/6 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.

MB = −w·a²/2 = −8·1,5²/2 = −9 kN·m

Jawaban

MB = −9 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 77,86 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 6912 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,19 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(4,19 × 10⁷/6912) = 77,86 mm

Jawaban

r = 77,86 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σj = 32,17 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 500 − 2·14 = 472 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·500³ − 184·472³)/12
Ix = 3,668 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 250 − 14 = 236 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·236/3,668 × 10⁸ = 32,17 MPa

Jawaban

σj = 32,17 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 45 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (40 + 40)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 85 − 40 = 45 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 0²) = 45 MPa

Jawaban

τxy = 45 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 131,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 59,68 MPa
R = √(59,68² + 39,79²) = 71,73 MPa
σ1 = C + R = 131,4 MPa
σ2 = C − R = −12,05 MPa

Jawaban

σ1 = 131,4 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 15,23 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·4500²·1500²/(3·3,99 × 10¹²·6000) = 15,23 mm

Jawaban

δP = 15,23 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·3000⁴/(384·70000·8,333) = 2,712 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 27,12 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 47,98 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3000² = 47977 N = 47,98 kN

Jawaban

Pcr = 47,98 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 145 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/15 = 116,7

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/116,7² = 145 MPa

Jawaban

σcr = 145 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials