Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
250 kNØ40100 GPaØ120/60300 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12300 mm500 mmØ30Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 750 N·mL = 0,5 m

Poros kuningan pejal sepanjang 0,5 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 750 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφallow = 1,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
10 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 1 m60 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 25 kNAB3,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mP = 25 kN di 3,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
190400128xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 190 mm dan setebal 12 mm, tinggi total 400 mm, dan badan setebal 8 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 190 mmH = 400 mmtf = 12 mmtw = 8 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1802401410xM = 100 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 180 mm dan setebal 14 mm, tinggi total 240 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 100 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 180 mmH = 240 mmtf = 14 mmtw = 10 mmM = 100 kN·m
σj = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 10σy​ = −30MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa dan σᵧ = −30 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 60 MPa?

σx = 10 MPaσy = −30 MPaσ1 = 60 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 70σy​ = −40τxy​ = −20MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = 70 MPaσy = −40 MPaτxy = −20 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 18 kNABδ6 m2 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 2 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 18 kNb = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,06821 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 250000·300/1,1 × 10⁹ = 0,06821 mm

Jawaban

δ = 0,06821 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 16,15 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·395841/867080 = 45652 N

Tegangan

σ2 = 45652/2827 = 16,15 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 16,15 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: d = 43,98 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·500/(39000·0,02618) = 367281 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 43,98 mm

Jawaban

d = 43,98 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 18,65 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·50)) = 18,65 mm

Jawaban

d = 18,65 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 38,33 kN, R2 = 31,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 38,33, MC = 66,67, MD = 95 kN·m, ME = 63,33, MF = 31,67, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 95 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 42 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,5 + 6·5·2,5
RB = 162,5/5 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 32,5 = 22,5 kN

Di mana V = 0?

V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 1,5 kN
V(3,5⁺) = 1,5 − 25 = −23,5 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·3,5 − w·3,5²/2 = 22,5·3,5 − 6·3,5²/2 = 42 kN·m

Jawaban

Mmax = 42 kN·m

Terjadi di x = 3,5 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 207,1 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 400 − 2·12 = 376 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·400³ − 182·376³)/12
Ix = 2,071 × 10⁸ mm⁴ = 207,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 207,1 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σj = 146,5 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 240 − 2·14 = 212 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·240³ − 170·212³)/12
Ix = 7,238 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

y = 120 − 14 = 106 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·106/7,238 × 10⁷ = 146,5 MPa

Jawaban

σj = 146,5 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 67,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (10 + (−30))/2 = −10 MPa
R = σ1 − C = 60 − (−10) = 70 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 20²) = 67,08 MPa

Jawaban

τxy = 67,08 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 102,5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 15 MPa, R = 58,52 MPa
σ1 = 73,52 MPa, σ2 = −43,52 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(73,52² − 73,52·(−43,52) + (−43,52)²) = 102,5 MPa

Jawaban

σvM = 102,5 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 1,661 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,661 mm

Jawaban

δmax = 1,661 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 22,82 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, b = 2000 mm, L = 8000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2000²)/3) = 4472 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 22,82 mm

Jawaban

δmax = 22,82 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 110,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Jawaban

Pcr = 110,2 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 71,06 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166,7

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Jawaban

σcr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials