Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 4 kN/mP = 30 kNABRA​ = ?4 m4 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 4 m dan beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari reaksi vertikal RA di dinding.

L = 8 mP = 30 kN di 4 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 4 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 20 kN/mP = 70 kNABMA​ = ?4 m1 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 20 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 5 mw0 = 20 kN/mP = 70 kN di 4 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 6 kN/mABpotongan4,5 m0,5 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4,5 m
Vx = kN
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mP = 70 kNAB9 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP = 70 kN di 9 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 10 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB25 kN8 m6 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 25 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB25 kN5 kN8 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 5 kN →
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 4 kN/mδL = 3 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 3 kN/mABδ5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm
hreq = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 30 kNL = 2,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 46 kN

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 4·4 = 16 kN, x̄ = 2 m

Kesetimbangan vertikal

RA = P + W = 30 + 16 = 46 kN

Jawaban

RA = 46 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 446,7 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·20·5 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 50·3,333 + 70·4 = 446,7 kN·m

Jawaban

MA = 446,7 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = −12 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2,5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15potongan4,5 m0,5 m

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 15 − 6·4,5 = −12 kN

Jawaban

Vx = −12 kN
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 187 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 70·9 + 12·10·5
RB = 1230/10 = 123 kN
ΣFy = 0: RA = 190 − 123 = 67 kN

Di mana V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 67/12 = 5,583 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 67·5,583 − 12·5,583²/2 = 187 kN·m

Jawaban

Mmax = 187 kN·m

Terjadi di x = 5,583 m dari A.

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 9,375 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·6 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,8944 = −20,96 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−20,96)·0,4472 = 9,375 kN

Jawaban

FAC = 9,375 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 14,84 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB25 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·3 + 5·4 → Cy = 11,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 11,88 = 13,13 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,88/0,6247 = −19,01 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19,01)·0,7809 = 14,84 kN

Jawaban

FAC = 14,84 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 1,688 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1,688 mm

Jawaban

δ = 1,688 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 267,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·13,89) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,598 × 10⁸/100)1/3 = 267,7 mm

Jawaban

hreq = 267,7 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 27,47 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27,47 kN

Jawaban

Pcr = 27,47 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 66,32 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 66,32 mm

Jawaban

d = 66,32 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 301,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis