Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P = 55 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?3 m1 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 3 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 4 m dari A. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

L = 5 mP = 55 kN di 3 mM = 60 kN·m (searah jarum jam) di 4 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 6 mP = 55 kN di 1 mw = 10 kN/m dari 1 sampai 6 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABC3 m2 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6,5 mP1 = 55 kN di 3 mP2 = 40 kN di 6,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
MB = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mP = 20 kNABpotongan7 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 7 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 20 kN di 7 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB40 kN4 m1 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 40 kN
FBC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB45 kN5 kN4 m3 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 45 kNbeban horizontal = 5 kN ←
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 4 kN/mδL = 3 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mP = 24 kNδL = 1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 24 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m20 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 45 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·5 − 55·3 − 60 = 0
RB = 225/5 = 45 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 55 − 45 = 10 kN

Jawaban

RB = 45 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 66,67 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 10 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m5 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·1 + 10·5·3,5
RB = 230/6 = 38,33 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 38,33 = 66,67 kN

Jawaban

RA = 66,67 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MB = −60 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·3 + 40·6,5
RB = 425/5 = 85 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 85 = 10 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Hanya P2 yang bekerja pada overstek, dengan lengan momen a. Beban ini melenturkan balok ke atas di atas tumpuan (momen negatif).

MB = −P2·a = −40·1,5 = −60 kN·m

Jawaban

MB = −60 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 45,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·7 + 8·8·4
RB = 396/8 = 49,5 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 49,5 = 34,5 kN
w = 8 kN/mP = 20 kNABRA​ = 34,5RB​ = 49,5potongan7 m1 m

Potong di x = 7 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 34,5·7 − 8·7·3,5 = 45,5 kN·m

Jawaban

Mx = 45,5 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −14,14 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,7071 = −14,14 kN

Jawaban

FBC = −14,14 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −34,94 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB45 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 − 5·2 → Cy = 31,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 31,25 = 13,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −31,25/0,8944 = −34,94 kN

Jawaban

FBC = −34,94 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 43,83 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 43,83 mm

Jawaban

δ = 43,83 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 4,927 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 24000·1500³/(48·3,96 × 10¹¹) = 4,261 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 0,6658 mm

Jumlahkan

δmax = 4,261 + 0,6658 = 4,927 mm

Jawaban

δmax = 4,927 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 3,008 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3500² = 3008 N = 3,008 kN

Jawaban

Pcr = 3,008 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 38,86 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σcr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis