Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN di 1,5 mP₂ = 30 kN di 2,5 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 4,5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD. Cari reaksi R_D di rol.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 25 kN di 4,5 mw = 12 kN/m dari 2,5 sampai 6 m

R_D = kN

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 30 kN di 3 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 20 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 7 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 6 mw = 6 kN/m

R_B = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 18 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,5 + 30·2,5

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 18 = 22 kN

Jawaban

R_B = 18 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_D = 35,29 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 12·3,5 = 42 kN di 1,75 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 25·2 + 42·1,75

R_D = 35,29 kN

V_C = 67 − 35,29 = 31,71 kN

Jawaban

R_D = 35,29 kN

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 24,67 kN, R₂ = 31,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 37,33, M_D = 47, M_E = 50,67 kN·m, M_F = 28,33, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 50,67 kN·m

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 116,3 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 8·8·4

R_B = 346/8 = 43,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 94 − 43,25 = 50,75 kN

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 50,75·3 − 8·3·1,5 = 116,3 kN·m

Jawaban

M_x = 116,3 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 12 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·2 → C_y = 8 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 8 = 12 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8/0,5547 = −14,42 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,42)·0,8321 = 12 kN

Jawaban

F_AC = 12 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −18,9 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·7 − 15·4 → C_y = 5,625 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5,625 = 9,375 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9,375/0,4961 = −18,9 kN

Jawaban

F_AB = −18,9 kN (tekan)

7.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,007619 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 4·8000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,007619 rad

Jawaban

θ_A = 0,007619 rad

Itu sama dengan 0,4365°.

8.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 13,5 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13,5 kN

Jawaban

R_B = 13,5 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 23,55 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Jawaban

P_cr = 23,55 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 3,172 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466,7² = 3,172 MPa

Jawaban

σ_cr = 3,172 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis