Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 12 kN/m di A sampai nol di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 0,5 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 65 kN di 0,5 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (8 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

AC = 3 mAD = 8 mP = 50 kN di 5 mw = 2 kN/m dari 3 sampai 8 m

M_A = kN·m

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 5 mP = 10 kN di 3 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_max = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 40 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 125 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 125 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 125 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 78,5 kN

Resultan beban segitiga

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1,667 + 65·0,5

R_B = 16,5 kN

R_A = 95 − 16,5 = 78,5 kN

Jawaban

R_A = 78,5 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 105 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 2·5 = 10 kN di 2,5 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 50·2 + 10·2,5

R_D = 25 kN

V_C = 60 − 25 = 35 kN

Bagian AC

Gaya sendi V_C bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

R_A = 35 = 35 kN

M_A = 35·3 = 105 kN·m

Jawaban

M_A = 105 kN·m

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 22,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 12·5 − 3·5·2,5 = 22,5 kN·m

Jawaban

M_x = 22,5 kN·m

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 18 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3 + 2·5·2,5

R_B = 55/5 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 11 = 9 kN

Di mana V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 3 kN

V(3⁺) = 3 − 10 = −7 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 9·3 − 2·3²/2 = 18 kN·m

Jawaban

M_max = 18 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −31,25 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·3 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 15 = 25 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −25/0,8 = −31,25 kN

Jawaban

F_AB = −31,25 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −30,57 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 − 15·3 → C_y = −4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −4 = 29 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −29/0,9487 = −30,57 kN

Jawaban

F_AB = −30,57 kN (tekan)

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 35,16 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 35,16 mm

Jawaban

δ_max = 35,16 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 145,9 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·15) = 3,236 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·3,236 × 10⁷/125)^1/3 = 145,9 mm

Jawaban

h_req = 145,9 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 10,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10,01 kN

Jawaban

P_cr = 10,01 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 87,19 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 87,19 mm

Jawaban

d = 87,19 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 128,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis