Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P = 30 kNM = 60 kN·mABRA​ = ?3 m4 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 3 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 7 m dari A. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

L = 8 mP = 30 kN di 3 mM = 60 kN·m (searah jarum jam) di 7 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 60 kN, 60°Q = 50 kNABα = ?1 m3 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 4 m dari A, miring 60° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 1 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.

L = 6 mP = 60 kN di 4 m, θ = 60°Q = 50 kN di 1 m
α = °
3.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 35 kN·mAB1,5 m2,5 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 35 kN·m di x = 1,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mM0 = 35 kN·m searah jarum jam, di 1,5 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mABC5 m2,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7,5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 7,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
xc = m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB50 kN6 m5 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB30 kN30 kN8 m7 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 7 m dari Abeban vertikal = 30 kNbeban horizontal = 30 kN →
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mABθ5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mδL = 8 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m20 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 11,25 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·8 − 30·3 − 60 = 0
RB = 150/8 = 18,75 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Jawaban

RA = 11,25 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: α = 63,04 °

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

Pv = 60·sin 60° = 51,96 kN
Ph = 60·cos 60° = 30 kN

Reaksi

ΣMA = 0: RB·6 = 51,96·4 + 50·1 → RB = 42,97 kN
Ay = 51,96 + 50 − 42,97 = 58,99 kN
Ax = Ph = 30 kN

Arah di A

α = atan(Ay/Ax) = atan(58,99/30) = 63,04°

Jawaban

α = 63,04°
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 21,88 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 35/4 = 8,75 kN (ke atas)
RA = −RB = −8,75 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.

Mx = RA·a + M0 = −8,75·1,5 + 35 = 21,88 kN·m

Jawaban

Mx = 21,88 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 3,75 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·7,5 = 15 kN, bekerja di x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7,5·3,75
RB = 56,25/5 = 11,25 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 11,25 = 3,75 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·3,75/2 = 3,75 m

Jawaban

xc = 3,75 m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −22,44 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·5 → Cy = 41,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 41,67 = 8,333 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8,333/0,3714 = −22,44 kN

Jawaban

FAB = −22,44 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −37,73 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB30 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 + 30·2 → Cy = 33,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 33,75 = −3,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33,75/0,8944 = −37,73 kN

Jawaban

FBC = −37,73 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,0248 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,0248 rad

Jawaban

θA = 0,0248 rad

Itu sama dengan 1,421°.

8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·8000⁴/(384·200000·22,22) = 7,2 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 72 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 16,45 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16,45 kN

Jawaban

Pcr = 16,45 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 79,31 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/7,5 = 93,33

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Jawaban

σcr = 79,31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis