Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 10 mP₁ = 10 kN di 1 mP₂ = 55 kN di 2 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 12 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 55 kN di 3,5 m

M_A = kN·m

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 10 mP₁ = 20 kN di 3 mP₂ = 45 kN di 5 m

M_max = kN·m

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 6 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 60 kN di 6 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 45 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 17 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 125 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 125 mm

h_req = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 12 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·1 + 55·2

R_B = 120/10 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 12 = 53 kN

Jawaban

R_B = 12 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 256,5 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2,667 + 55·3,5 = 256,5 kN·m

Jawaban

M_A = 256,5 kN·m

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 142,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3 + 45·5

R_B = 285/10 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 28,5 = 36,5 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·3 = 36,5·3 = 109,5 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·5 = 28,5·5 = 142,5 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 142,5 kN·m (di bawah P₂)

Jawaban

M_max = 142,5 kN·m

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 264 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 10·10·5

R_B = 860/10 = 86 kN

ΣF_y = 0: R_A = 160 − 86 = 74 kN

Potong di x = 6 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 74·6 − 10·6·3 = 264 kN·m

Jawaban

M_x = 264 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −45,44 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·5 → C_y = 28,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28,13 = 16,88 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,88/0,3714 = −45,44 kN

Jawaban

F_AB = −45,44 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −18,38 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·3 − 5·3 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 12 = 13 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13/0,7071 = −18,38 kN

Jawaban

F_AB = −18,38 kN (tekan)

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 28,33 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,333 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,005 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 28,33 mm

Jawaban

δ_B = 28,33 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 246,1 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,553 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·1,553 × 10⁸/125)^1/3 = 246,1 mm

Jawaban

h_req = 246,1 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 7,087 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7,087 kN

Jawaban

P_cr = 7,087 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 145 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/15 = 116,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/116,7² = 145 MPa

Jawaban

σ_cr = 145 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis