Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 2,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal R_B, dengan arah ke atas positif.

AB = 2,5 mAC = 4 mP₁ = 30 kN di 1 mP₂ = 20 kN di 4 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 4 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD dan beban terpusat Q pada 1 m dari A. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

AC = 3 mAD = 6 mP = 70 kN di 4 mw = 12 kN/m dari 3 sampai 6 mQ = 65 kN di 1 m

M_A = kN·m

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 0,5 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2 mP = 20 kN di 0,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 2 m

M_A = kN·m

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 50 kN di 9 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 35 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 40 kNbeban horizontal = 20 kN →

F_AB = kN

7.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 19 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δ_max.

P = 13 kNL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 44 kN

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 30·1 + 20·4

R_B = 110/2,5 = 44 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 30 + 20 − 44 = 6 kN

Jawaban

R_B = 44 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 259 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 12·3 = 36 kN di 1,5 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 70·1 + 36·1,5

R_D = 41,33 kN

V_C = 106 − 41,33 = 64,67 kN

Bagian AC

Gaya sendi V_C bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

R_A = 65 + 64,67 = 129,7 kN

M_A = 65·1 + 64,67·3 = 259 kN·m

Jawaban

M_A = 259 kN·m

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −20 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −20·0,5 = −10 kN·m

w: −5·2²/2 = −10 kN·m

M_A = −10 − 10 = −20 kN·m

Jawaban

M_A = −20 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 32 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·9 + 6·10·5

R_B = 750/10 = 75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 75 = 35 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 35·1 − 6·1·0,5 = 32 kN·m

Jawaban

M_x = 32 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 6,563 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,8 = −10,94 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−10,94)·0,6 = 6,563 kN

Jawaban

F_AC = 6,563 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −24,75 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·3 + 20·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 22,5 = 17,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17,5/0,7071 = −24,75 kN

Jawaban

F_AB = −24,75 kN (tekan)

7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 29,98 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 19000·1500³/(3·9,24 × 10¹¹) = 23,13 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 6,849 mm

Jumlahkan

δ = 23,13 + 6,849 = 29,98 mm

Jawaban

δ = 29,98 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 59,21 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 29,6 mm

Jumlahkan kedua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 59,21 mm

Jawaban

δ_max = 59,21 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,622 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/4000² = 5622 N = 5,622 kN

Jawaban

P_cr = 5,622 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,14 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 83,14 mm

Jawaban

d = 83,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 144,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis