Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w0​ = 15 kN/mABRA​ = ?6 m

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 15 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 6 mw0 = 15 kN/m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 4 kN/mP = 60 kNABCRB​ = ?1,5 m1 m1,5 m1 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 2,5 m dari A dan beban merata w dari 1,5 m sampai ujung bebas di 5 m. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 5 mP = 60 kN di 2,5 mw = 4 kN/m dari 1,5 sampai 5 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 30 kNP2​ = 15 kNABC2,5 m1,5 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP1 = 30 kN di 2,5 mP2 = 15 kN di 5 mtumpuan di x = 0 dan x = 4 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
45 kN20 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 0 m20 kN @ 6 m25 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH25 kN20 kN40 kN30 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 25 kN ↓F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH15 kN40 kN10 kN25 kN35 kN40 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

C: 15 kN ↓D: 40 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
7.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mP = 20 kNABδ1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 20 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mP = 21 kNδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 21 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m25 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 65 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 30 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·15·6 = 45 kN
x̄ = L/3 = 2 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·2
RB = 15 kN
RA = 45 − 15 = 30 kN

Jawaban

RA = 30 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 48,88 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 4·3,5 = 14 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·4 = 60·2,5 + 14·3,25
RB = 195,5/4 = 48,88 kN
RA = 74 − 48,88 = 25,13 kN

Jawaban

RB = 48,88 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 18,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·4 = 30·2,5 + 15·5
RB = 150/4 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 37,5 = 7,5 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·2,5 = 7,5·2,5 = 18,75 kN·m

Jawaban

Mx = 18,75 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 70 kN, R2 = 20 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −45 kN·m, MC = −20, MD = −20, ME = −20, MF = −20, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = −45 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 36,56 kN (T), BC: 58,12 kN (T), CD: 58,12 kN (T), DE: 49,69 kN (T), FG: 36,56 kN (C), GH: 49,69 kN (C), AF: 60,94 kN (C), HE: 82,81 kN (C), BF: 28,75 kN (T), CG: 0, DH: 36,25 kN (T), BG: 35,94 kN (C), DG: 14,06 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen BF

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 16,25 kN (T), BC: 16,25 kN (T), CD: 68,75 kN (T), DE: 68,75 kN (T), FG: 102,5 kN (C), GH: 102,5 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 97,23 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 65,41 kN (T), HC: 8,839 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: BF
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 3,583 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 20000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 2,679 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 0,904 mm

Jumlahkan

δ = 2,679 + 0,904 = 3,583 mm

Jawaban

δ = 3,583 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 6,773 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 21000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 4,246 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 2,527 mm

Jumlahkan

δmax = 4,246 + 2,527 = 6,773 mm

Jawaban

δmax = 6,773 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 57,12 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Jawaban

Pcr = 57,12 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 68,07 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 68,07 mm

Jawaban

d = 68,07 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 235,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis