Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?3 m1,5 m1,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 4,5 m dan beban terpusat P pada 3 m dari dinding. Cari reaksi vertikal RA di dinding.

L = 6 mP = 10 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 4,5 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 4 kN/mP = 40 kNABCRA​ = ?0,5 m2,5 m0,5 m1,5 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 0,5 m dari A dan beban merata w dari 3 m sampai ujung bebas di 5 m. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

AB = 3,5 mAC = 5 mP = 40 kN di 0,5 mw = 4 kN/m dari 3 sampai 5 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 2 kN/mABpotongan5 m5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 10 kNABpotongan2,5 m3,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 10 kN di 2,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB60 kN5 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 60 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB50 kN15 kN4 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 50 kNbeban horizontal = 15 kN →
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mABθ4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Lendutan balokSulit
P = 3 kNP = 3 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δmax.

P = 3 kNL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m25 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 15 kNL = 1 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 15 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 28 kN

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 4·4,5 = 18 kN, x̄ = 2,25 m

Kesetimbangan vertikal

RA = P + W = 10 + 18 = 28 kN

Jawaban

RA = 28 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 33,14 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 4·2 = 8 kN, x̄ = (3 + 5)/2 = 4 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 40·0,5 + 8·4
RB = 52/3,5 = 14,86 kN
RA = 48 − 14,86 = 33,14 kN

Jawaban

RA = 33,14 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 2·10·5
RB = 100/10 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10potongan5 m5 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 10·5 − 2·5·2,5 = 25 kN·m

Jawaban

Mx = 25 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 58,33 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2,5 + 10·6·3
RB = 205/6 = 34,17 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 34,17 = 35,83 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 35,83RB​ = 34,17potongan2,5 m3,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 35,83·2,5 − 10·2,5·1,25 = 58,33 kN·m

Jawaban

Mx = 58,33 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 18 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB60 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 36 = 24 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36/0,8944 = −40,25 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−40,25)·0,4472 = 18 kN

Jawaban

FAC = 18 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 13,13 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 50·3 + 15·4 → Cy = 52,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 52,5 = −2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −52,5/0,9701 = −54,12 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−54,12)·0,2425 = 13,13 kN

Jawaban

FAC = 13,13 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,01325 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 8·4000³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,01325 rad

Jawaban

θA = 0,01325 rad

Itu sama dengan 0,7592°.

8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 9,272 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, L = 8000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 4,636 mm

Jumlahkan kedua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 9,272 mm

Jawaban

δmax = 9,272 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 57,12 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Jawaban

Pcr = 57,12 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 27,13 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N
KL = 0,7·1000 = 700 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·700²/(π³·70000))^(1/4) = 27,13 mm

Jawaban

d = 27,13 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 103,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis