Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 10 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 5,5 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 80 kN di 5,5 m

R_B = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 4 mP = 30 kN di 3 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 1 m

R_A = kN

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 20 kN·m di x = 7 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM₀ = 20 kN·m searah jarum jam, di 7 m

M_x = kN·m

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mP = 55 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_max = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 15 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 55 kNbeban horizontal = 25 kN →

F_AB = kN

7.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 0,5 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 30 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δ_max.

P = 18 kNL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 93,33 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4 + 80·5,5

R_B = 93,33 kN

R_A = 110 − 93,33 = 16,67 kN

Jawaban

R_B = 93,33 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 12,75 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, bekerja di x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·3 + 6·1·0,5

R_B = 93/4 = 23,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 23,25 = 12,75 kN

Jawaban

R_A = 12,75 kN

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 6 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/10 = 2 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −2 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −2·7 + 20 = 6 kN·m

Jawaban

M_x = 6 kN·m

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 127,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3 + 10·6·3

R_B = 345/6 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

Di mana V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 27,5 kN

V(3⁺) = 27,5 − 55 = −27,5 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 57,5·3 − 10·3²/2 = 127,5 kN·m

Jawaban

M_max = 127,5 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 3 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3/0,7071 = −4,243 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,243)·0,7071 = 3 kN

Jawaban

F_AC = 3 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = 6,479 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 + 25·3 → C_y = 58,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 58,33 = −3,333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−3,333/0,5145 = 6,479 kN

Jawaban

F_AB = 6,479 kN (tarik)

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 11,55 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,101 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006303 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,55 mm

Jawaban

δ_B = 11,55 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 45,43 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 22,72 mm

Jumlahkan kedua beban

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 45,43 mm

Jawaban

δ_max = 45,43 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 32,75 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/750² = 32752 N = 32,75 kN

Jawaban

P_cr = 32,75 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 12,34 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis