Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 70 kNABCRB​ = ?4 m1 m3 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 50 kN di 4 mP2 = 70 kN di 8 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 10 kN, 30°Q = 30 kNABα = ?2 m1 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 2 m dari A, miring 30° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3 m dari A. Cari sudut α antara gaya reaksi total di sendi A dan horizontal.

L = 4 mP = 10 kN di 2 m, θ = 30°Q = 30 kN di 3 m
α = °
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNAB4 m2 m4 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP1 = 45 kN di 4 mP2 = 15 kN di 6 m
Mmax = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
12 kN/m25 kN15 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

25 kN @ 0 m15 kN @ 6 m25 kN @ 3 m12 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH40 kN25 kN35 kN25 kN25 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

C: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB30 kN10 kN5 m2 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 30 kNbeban horizontal = 10 kN →
FAB = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 4 kN/mδL = 5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 152 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·4 + 70·8
RB = 760/5 = 152 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 50 + 70 − 152 = −32 kN

Jawaban

RB = 152 kN

RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: α = 49,11 °

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

Pv = 10·sin 30° = 5 kN
Ph = 10·cos 30° = 8,66 kN

Reaksi

ΣMA = 0: RB·4 = 5·2 + 30·3 → RB = 25 kN
Ay = 5 + 30 − 25 = 10 kN
Ax = Ph = 8,66 kN

Arah di A

α = atan(Ay/Ax) = atan(10/8,66) = 49,11°

Jawaban

α = 49,11°
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 132 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·10 = 45·4 + 15·6
RB = 270/10 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 27 = 33 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·4 = 33·4 = 132 kN·m
di bawah P2: M = RB·4 = 27·4 = 108 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 132 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 132 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 49,67 kN, R2 = 51,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −25, MC = −6,333, MD = 0,3333, ME = −30 kN·m, MF = −15, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −30 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen BF

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 95 kN (T), BC: 95 kN (T), CD: 105 kN (T), DE: 105 kN (T), FG: 143,3 kN (C), GH: 143,3 kN (C), AF: 118,8 kN (C), HE: 131,2 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 60,42 kN (T), HC: 47,92 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: BF
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −14,42 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB30 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 + 10·3 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 18 = 12 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12/0,8321 = −14,42 kN

Jawaban

FAB = −14,42 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 43,4 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 43,4 mm

Jawaban

δ = 43,4 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 100,4 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,004 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 100,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 100,4 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 137,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Jawaban

Pcr = 137,3 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/6,25 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis