Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 55 kNP2​ = 45 kNABCRB​ = ?1,5 m2,5 m1 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 5 mP1 = 55 kN di 1,5 mP2 = 45 kN di 5 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 10 kN/mP = 25 kNQ = 30 kNADCRD​ = ?0,5 m1,5 m2,5 m1,5 m

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 4,5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD dan beban terpusat Q pada 0,5 m dari A. Cari reaksi RD di rol.

AC = 2 mAD = 6 mP = 25 kN di 4,5 mw = 10 kN/m dari 2 sampai 6 mQ = 30 kN di 0,5 m
RD = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 35 kNP2​ = 15 kNABC2 m6 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP1 = 35 kN di 2 mP2 = 15 kN di 10 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 45 kNABpotongan4 m6 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 45 kN di 4 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH40 kN15 kN30 kN20 kN30 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB15 kN30 kN8 m6 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 30 kN ←
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 4 kNABδ3 m3 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 3 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 4 kNa = 3 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Lendutan balokSulit
P = 2 kNABδ7 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 2 kNb = 1 mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 15 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 15 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 76,88 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·4 = 55·1,5 + 45·5
RB = 307,5/4 = 76,88 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 55 + 45 − 76,88 = 23,13 kN

Jawaban

RB = 76,88 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RD = 35,63 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 10·4 = 40 kN di 2 m dari C
ΣMC = 0: RD·4 = 25·2,5 + 40·2
RD = 35,63 kN
VC = 65 − 35,63 = 29,38 kN

Jawaban

RD = 35,63 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 45 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 15·10
RB = 220/8 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27,5 = 22,5 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·2 = 22,5·2 = 45 kN·m

Jawaban

Mx = 45 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 228 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·4 + 10·10·5
RB = 680/10 = 68 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 68 = 77 kN
w = 10 kN/mP = 45 kNABRA​ = 77RB​ = 68potongan4 m6 m

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 77·4 − 10·4·2 = 228 kN·m

Jawaban

Mx = 228 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 73,75 kN (T), BC: 77,5 kN (T), CD: 77,5 kN (T), DE: 61,25 kN (T), FG: 73,75 kN (C), GH: 61,25 kN (C), AF: 104,3 kN (C), HE: 86,62 kN (C), BF: 43,75 kN (T), CG: 0, DH: 31,25 kN (T), BG: 5,303 kN (C), DG: 22,98 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = −1,875 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB15 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·6 − 30·4 → Cy = −3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −3,75 = 18,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−3,75/0,8944 = 4,193 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(4,193)·0,4472 = −1,875 kN

Jawaban

FAC = −1,875 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δB = 68,18 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 27,27 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01364 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 68,18 mm

Jawaban

δB = 68,18 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 1,743 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 2000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1,743 mm

Jawaban

δmax = 1,743 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 94,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94,2 kN

Jawaban

Pcr = 94,2 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,14 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·15000 = 45000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 83,14 mm

Jawaban

d = 83,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 288,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis