Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 12 kN/mP = 30 kNABMA​ = ?2,5 m2,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 2,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 5 mP = 30 kN di 2,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 m
MA = kN·m
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 6 kN/mP = 65 kNADCRD​ = ?2,5 m1 m2,5 m

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD. Cari reaksi RD di rol.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 65 kN di 3,5 mw = 6 kN/m dari 2,5 sampai 6 m
RD = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
35 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 1 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 65 kNAB2,5 m2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mP = 65 kN di 2,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB10 kN6 m1 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 10 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB15 kN5 kN6 m2 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 5 kN →
FAB = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 18 kNABδ2,5 m0,5 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 2,5 m dari A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 18 kNa = 2,5 mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 55 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 55 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 225 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2,5 m

Momen terhadap dinding

MA = P·a + W·x̄ = 30·2,5 + 60·2,5 = 225 kN·m

Jawaban

MA = 225 kN·m
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RD = 29,07 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 6·3,5 = 21 kN di 1,75 m dari C
ΣMC = 0: RD·3,5 = 65·1 + 21·1,75
RD = 29,07 kN
VC = 86 − 29,07 = 56,93 kN

Jawaban

RD = 29,07 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 40,83 kN, R2 = 29,17 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 40,83, MC = 46,67, MD = 52,5, ME = 58,33 kN·m, MF = 29,17, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 58,33 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 100 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 65·2,5 + 6·5·2,5
RB = 237,5/5 = 47,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 47,5 = 47,5 kN

Di mana V = 0?

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 32,5 kN
V(2,5⁺) = 32,5 − 65 = −32,5 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 47,5·2,5 − 6·2,5²/2 = 100 kN·m

Jawaban

Mmax = 100 kN·m

Terjadi di x = 2,5 m dari A.

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 4,167 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·1 → Cy = 1,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 1,667 = 8,333 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,667/0,3714 = −4,488 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−4,488)·0,9285 = 4,167 kN

Jawaban

FAC = 4,167 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −9,014 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB15 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 + 5·3 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 7,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7,5/0,8321 = −9,014 kN

Jawaban

FAB = −9,014 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 5,58 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa³/(3EI) = 18000·2500³/(3·1,68 × 10¹³) = 5,58 mm

Jawaban

δP = 5,58 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,172 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 9,462 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Jawaban

Pcr = 9,462 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 66,42 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,42 mm

Jawaban

d = 66,42 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 120,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis