Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w0​ = 4 kN/mABRB​ = ?8 m

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 4 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 8 mw0 = 4 kN/m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 40 kN, 40°Q = 30 kNABRA​ = ?3 m4 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 7 m dari A, miring 40° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3 m dari A. Cari besar gaya reaksi total RA di sendi A.

L = 8 mP = 40 kN di 7 m, θ = 40°Q = 30 kN di 3 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 20 kN·mAB1 m5 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 20 kN·m di x = 1 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mM0 = 20 kN·m searah jarum jam, di 1 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 20 kNABpotongan4 m1 m3 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 20 kN di 5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB20 kN5 m1 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 20 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB60 kN30 kN5 m4 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 30 kN →
FAB = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 28 kNABδ2 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 28 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mP = 20 kNδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 20 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 50 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 5,333 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·8 = 16 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·8 = 16·2,667
RB = 5,333 kN
RA = 16 − 5,333 = 10,67 kN

Jawaban

RB = 5,333 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 37,7 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

Pv = 40·sin 40° = 25,71 kN
Ph = 40·cos 40° = 30,64 kN

Reaksi

ΣMA = 0: RB·8 = 25,71·7 + 30·3 → RB = 33,75 kN
Ay = 25,71 + 30 − 33,75 = 21,96 kN
Ax = Ph = 30,64 kN

Resultan di A

RA = √(30,64² + 21,96²) = 37,7 kN

Jawaban

RA = 37,7 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −3,333 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/6 = 3,333 kN (ke atas)
RA = −RB = −3,333 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −3,333·1 = −3,333 kN·m

Jawaban

Mx = −3,333 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 46 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·5 + 2·8·4
RB = 164/8 = 20,5 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 20,5 = 15,5 kN
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = 15,5RB​ = 20,5potongan4 m1 m3 m

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 15,5·4 − 2·4·2 = 46 kN·m

Jawaban

Mx = 46 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −17,89 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·1 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 4 = 16 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16/0,8944 = −17,89 kN

Jawaban

FAB = −17,89 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = 10 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·4 + 30·3 → Cy = 66 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 66 = −6 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−6/0,6 = 10 kN

Jawaban

FAB = 10 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 1,092 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 28000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·2000²·1000²/(3·1,14 × 10¹³·3000) = 1,092 mm

Jawaban

δP = 1,092 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 1,25 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 20000·4000³/(48·3,2 × 10¹³) = 0,8333 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·4000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 0,4167 mm

Jumlahkan

δmax = 0,8333 + 0,4167 = 1,25 mm

Jawaban

δmax = 1,25 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 14,02 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1400² = 14015 N = 14,02 kN

Jawaban

Pcr = 14,02 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 85,8 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 85,8 mm

Jawaban

d = 85,8 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 163,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis