Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P = 75 kNM = 10 kN·mABRB​ = ?1,5 m0,5 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 1,5 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 2 m dari A. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

L = 4 mP = 75 kN di 1,5 mM = 10 kN·m (searah jarum jam) di 2 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 6 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?4,5 m0,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 6 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 25 kN di 4,5 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 3 kN/mABpotongan2 m8 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 25 kNABpotongan1,5 m5,5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 25 kN di 7 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB35 kN4 m1 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 35 kN
FBC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB45 kN15 kN4 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 45 kNbeban horizontal = 15 kN ←
FAB = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mP = 20 kNδL = 1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 20 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m40 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 70 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 70 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 30,63 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·4 − 75·1,5 − 10 = 0
RB = 122,5/4 = 30,63 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 75 − 30,63 = 44,38 kN

Jawaban

RB = 30,63 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 162,5 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 15·3,333 + 25·4,5 = 162,5 kN·m

Jawaban

MA = 162,5 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 24 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15potongan2 m8 m

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 15·2 − 3·2·1 = 24 kN·m

Jawaban

Mx = 24 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 53,44 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·7 + 10·8·4
RB = 495/8 = 61,88 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 61,88 = 43,13 kN
w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​ = 43,13RB​ = 61,88potongan1,5 m5,5 m1 m

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 43,13·1,5 − 10·1,5·0,75 = 53,44 kN·m

Jawaban

Mx = 53,44 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −10,94 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8,75/0,8 = −10,94 kN

Jawaban

FBC = −10,94 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −32,81 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB45 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·3 − 15·4 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 18,75 = 26,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −26,25/0,8 = −32,81 kN

Jawaban

FAB = −32,81 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 8,989 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 8,989 mm

Jawaban

δmax = 8,989 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 1,692 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 20000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 20000·1500³/(48·1,61 × 10¹²) = 0,8734 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 0,8189 mm

Jumlahkan

δmax = 0,8734 + 0,8189 = 1,692 mm

Jawaban

δmax = 1,692 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 60,16 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1750² = 60158 N = 60,16 kN

Jawaban

Pcr = 60,16 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 93,98 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 93,98 mm

Jawaban

d = 93,98 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 255,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis