Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 45 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 4 mP1 = 45 kN di 1 mP2 = 20 kN di 2 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m3 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 6 mP = 40 kN di 3 mw = 2 kN/m dari 1 sampai 6 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 10 kN·mAB5 m5 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 10 kN·m di x = 5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM0 = 10 kN·m searah jarum jam, di 5 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 40 kNABpotongan3,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 40 kN di 3,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH10 kN20 kN10 kN35 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB35 kN5 kN6 m2 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 5 kN ←
FAB = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 23 kNABδ1 m3 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 23 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
P = 15 kNP = 15 kNABδ1,667 m1,666 m1,667 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δmax.

P = 15 kNL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m20 × 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 21,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 45 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·4 = 45·1 + 20·2
RB = 85/4 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 21,25 = 43,75 kN

Jawaban

RB = 21,25 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 25,83 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 2 kN/mP = 40 kNABRA​RB​1 m2 m3 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 40·3 + 2·5·3,5
RB = 155/6 = 25,83 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25,83 = 24,17 kN

Jawaban

RB = 25,83 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/10 = 1 kN (ke atas)
RA = −RB = −1 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.

Mx = RA·a + M0 = −1·5 + 10 = 5 kN·m

Jawaban

Mx = 5 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 68,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·3,5 + 10·5·2,5
RB = 265/5 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 53 = 37 kN
w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​ = 37RB​ = 53potongan3,5 m1,5 m

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 37·3,5 − 10·3,5·1,75 = 68,25 kN·m

Jawaban

Mx = 68,25 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 26,25 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 22,98 kN (C), DG: 8,839 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −31,05 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB35 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·2 − 5·3 → Cy = 9,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 9,167 = 25,83 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −25,83/0,8321 = −31,05 kN

Jawaban

FAB = −31,05 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 13,07 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·3000²/(3·1,32 × 10¹²·4000) = 13,07 mm

Jawaban

δP = 13,07 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 27,73 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 13,86 mm

Jumlahkan kedua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 27,73 mm

Jawaban

δmax = 27,73 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 13,16 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/2000² = 13159 N = 13,16 kN

Jawaban

Pcr = 13,16 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis