Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 35 kNP2​ = 80 kNABCRA​ = ?5 m3 m2 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 8 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

AB = 8 mAC = 10 mP1 = 35 kN di 5 mP2 = 80 kN di 10 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?6 m3 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 10 mP = 25 kN di 6 mw = 2 kN/m dari 6 sampai 9 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 25 kNP2​ = 10 kNAB5 m1 m2 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP1 = 25 kN di 5 mP2 = 10 kN di 6 m
Mmax = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 20 kN/mAB2 m3 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x0 dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 5 mw = 20 kN/m dari 2 sampai 5 m
x0 = m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH10 kN20 kN15 kN20 kN20 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 10 kN ↓C: 20 kN ↓F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB35 kN10 kN4 m1 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 10 kN →
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 19 kNABδ1,5 m2,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 19 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mP = 8 kNδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 8 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m25 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 4 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = −6,875 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·8 = 35·5 + 80·10
RB = 975/8 = 121,9 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 35 + 80 − 121,9 = −6,875 kN

Jawaban

RA = −6,875 kN

RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 19,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​RB​6 m3 m1 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, bekerja di x̄ = 7,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·6 + 2·3·7,5
RB = 195/10 = 19,5 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 19,5 = 11,5 kN

Jawaban

RB = 19,5 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 59,38 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·8 = 25·5 + 10·6
RB = 185/8 = 23,13 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 23,13 = 11,88 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·5 = 11,88·5 = 59,38 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 23,13·2 = 46,25 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 59,38 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 59,38 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x0 = 2,9 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·3·3,5
RB = 210/5 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 42 = 18 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 18/20 = 2,9 m

Jawaban

x0 = 2,9 m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 32,81 kN (T), BC: 32,81 kN (T), CD: 30,94 kN (T), DE: 30,94 kN (T), FG: 46,87 kN (C), GH: 46,87 kN (C), AF: 54,69 kN (C), HE: 51,56 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 23,44 kN (T), HC: 26,56 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 20,63 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·1 + 10·2 → Cy = 13,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 13,75 = 21,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13,75/0,5547 = −24,79 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−24,79)·0,8321 = 20,63 kN

Jawaban

FAC = 20,63 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 8,836 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 19000·1500²·2500²/(3·2,52 × 10¹²·4000) = 8,836 mm

Jawaban

δP = 8,836 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 5,154 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 8000·5000³/(48·7,2 × 10¹²) = 2,894 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 2,261 mm

Jumlahkan

δmax = 2,894 + 2,261 = 5,154 mm

Jawaban

δmax = 5,154 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 27,54 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1400² = 27538 N = 27,54 kN

Jawaban

Pcr = 27,54 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 2,429 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/15 = 533,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Jawaban

σcr = 2,429 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis