Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w0​ = 12 kN/mP = 65 kNABRA​ = ?1 m3 m

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 12 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 1 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 4 mw0 = 12 kN/mP = 65 kN di 1 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 4 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?7 m3 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 4 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 7 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 10 mw0 = 4 kN/mP = 60 kN di 7 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 65 kNP2​ = 75 kNABC2 m3 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP1 = 65 kN di 2 mP2 = 75 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 20 kNABpotongan6 m4 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 6 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 20 kN di 6 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH25 kN20 kN40 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB10 kN10 kN6 m5 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 10 kNbeban horizontal = 10 kN ←
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
P = 13 kNABδ3,5 m2,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 2,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 13 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m30 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 56,75 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·12·4 = 24 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·4 = 24·2,667 + 65·1
RB = 32,25 kN
RA = 89 − 32,25 = 56,75 kN

Jawaban

RA = 56,75 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 486,7 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·10 = 20 kN
x̄ = L/3 = 3,333 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 20·3,333 + 60·7 = 486,7 kN·m

Jawaban

MA = 486,7 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 18 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·5 = 65·2 + 75·7
RB = 655/5 = 131 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 131 = 9 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·2 = 9·2 = 18 kN·m

Jawaban

Mx = 18 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 72 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·6 + 2·10·5
RB = 220/10 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 22 = 18 kN
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = 18RB​ = 22potongan6 m4 m

Potong di x = 6 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 18·6 − 2·6·3 = 72 kN·m

Jawaban

Mx = 72 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 51,67 kN (T), BC: 51,67 kN (T), CD: 61,67 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 64,58 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 22,92 kN (T), HC: 10,42 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −3,514 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB10 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·5 − 10·3 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,333 = 6,667 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,333/0,9487 = −3,514 kN

Jawaban

FBC = −3,514 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 3,401 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 3,401 mm

Jawaban

δ = 3,401 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 12,26 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 12,26 mm

Jawaban

δmax = 12,26 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 13,88 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4000² = 13879 N = 13,88 kN

Jawaban

Pcr = 13,88 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,94 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 2·2000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Jawaban

σcr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis