Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w0​ = 10 kN/mABRA​ = ?10 m

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 10 kN/m di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 10 mw0 = 10 kN/m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 6 kN/mP = 30 kNABCRB​ = ?1 m1,5 m1,5 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 2,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 1 m dari A dan beban merata w dari 2,5 m sampai ujung bebas di 4 m. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 30 kN di 1 mw = 6 kN/m dari 2,5 sampai 4 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 25 kNABC3 m2 m2 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP1 = 50 kN di 3 mP2 = 25 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
MB = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mAB2 m2 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 2 sampai 4 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH20 kN40 kN20 kN35 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 20 kN ↓F: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB40 kN25 kN6 m2 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 40 kNbeban horizontal = 25 kN ←
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 17 kNABδ7 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 7 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 17 kNa = 7 mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 30 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 16,67 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·10 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·10 = 50·6,667
RB = 33,33 kN
RA = 50 − 33,33 = 16,67 kN

Jawaban

RA = 16,67 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 23,7 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban merata

W = 6·1,5 = 9 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 30·1 + 9·3,25
RB = 59,25/2,5 = 23,7 kN
RA = 39 − 23,7 = 15,3 kN

Jawaban

RB = 23,7 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MB = −50 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·3 + 25·7
RB = 325/5 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 65 = 10 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Hanya P2 yang bekerja pada overstek, dengan lengan momen a. Beban ini melenturkan balok ke atas di atas tumpuan (momen negatif).

MB = −P2·a = −25·2 = −50 kN·m

Jawaban

MB = −50 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 11,52 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·2·3
RB = 36/5 = 7,2 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 7,2 = 4,8 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 4,8/6 = 2,8 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 4,8·2,8 − 6·0,8²/2 = 11,52 kN·m

Jawaban

Mmax = 11,52 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 47,81 kN (T), BC: 47,81 kN (T), CD: 38,44 kN (T), DE: 38,44 kN (T), FG: 50,63 kN (C), GH: 50,63 kN (C), AF: 79,69 kN (C), HE: 64,06 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 4,688 kN (T), HC: 20,31 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 10 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB40 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·2 − 25·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 5 = 35 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0,4472 = −11,18 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,18)·0,8944 = 10 kN

Jawaban

FAC = 10 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 1,446 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·7000²·1000²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 1,446 mm

Jawaban

δP = 1,446 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 368,2 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16,67) = 3,682 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 368,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 368,2 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 222,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Jawaban

Pcr = 222,3 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 59,32 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 59,32 mm

Jawaban

d = 59,32 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 269,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis