Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP₁ = 50 kN di 2 mP₂ = 55 kN di 3 m

R_A = kN

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 20 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 10 mw₀ = 20 kN/mP = 25 kN di 5 m

M_A = kN·m

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mw = 8 kN/m dari 3 sampai 6 m

M_max = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 55 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 5 kN →

F_AC = kN

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 7 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 71,88 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 55·3

R_B = 265/8 = 33,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 33,13 = 71,88 kN

Jawaban

R_A = 71,88 kN

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 791,7 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·20·10 = 100 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 100·6,667 + 25·5 = 791,7 kN·m

Jawaban

M_A = 791,7 kN·m

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 6 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 6·2 − 3·2·1 = 6 kN·m

Jawaban

M_x = 6 kN·m

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 20,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·3·4,5

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 18 = 6 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 6/8 = 3,75 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 6·3,75 − 8·0,75²/2 = 20,25 kN·m

Jawaban

M_max = 20,25 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −43,48 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·3 → C_y = 41,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 41,25 = 13,75 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41,25/0,9487 = −43,48 kN

Jawaban

F_BC = −43,48 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 7,083 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 + 5·2 → C_y = 14,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 14,17 = 0,8333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14,17/0,8944 = −15,84 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,84)·0,4472 = 7,083 kN

Jawaban

F_AC = 7,083 kN (tarik)

7.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 2,018 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,018 mm

Jawaban

δ_max = 2,018 mm

8.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 77,77 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·3000³/(48·1,32 × 10¹¹) = 29,83 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 47,94 mm

Jumlahkan

δ_max = 29,83 + 47,94 = 77,77 mm

Jawaban

δ_max = 77,77 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 114,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1500² = 114232 N = 114,2 kN

Jawaban

P_cr = 114,2 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,12 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/12,5 = 336

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6,12 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,12 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis