Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P = 60 kNM = 50 kN·mABRB​ = ?0,5 m3,5 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 4 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 0,5 m dari A. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

L = 6 mP = 60 kN di 4 mM = 50 kN·m (searah jarum jam) di 0,5 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 10 kN/mP = 40 kNABMA​ = ?7 m1 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 10 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 7 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 8 mw0 = 10 kN/mP = 40 kN di 7 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 2 kN/mP = 10 kNAB0,5 m2 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 0,5 m dari A. Cari momen lentur MA di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 10 kN di 0,5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 2,5 m
MA = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mP = 50 kNABpotongan4 m2 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 50 kN di 4 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB45 kN8 m5 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 3 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 45 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB20 kN5 kN4 m3 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 20 kNbeban horizontal = 5 kN →
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mδL = 1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 48,33 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 − 60·4 − 50 = 0
RB = 290/6 = 48,33 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 60 − 48,33 = 11,67 kN

Jawaban

RB = 48,33 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 493,3 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·8 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 40·5,333 + 40·7 = 493,3 kN·m

Jawaban

MA = 493,3 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MA = −11,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −10·0,5 = −5 kN·m
w: −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m
MA = −5 − 6,25 = −11,25 kN·m

Jawaban

MA = −11,25 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 114,7 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·4 + 12·6·3
RB = 416/6 = 69,33 kN
ΣFy = 0: RA = 122 − 69,33 = 52,67 kN
w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​ = 52,67RB​ = 69,33potongan4 m2 m

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 52,67·4 − 12·4·2 = 114,7 kN·m

Jawaban

Mx = 114,7 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 28,12 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 → Cy = 28,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 28,13 = 16,88 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −28,13/0,7071 = −39,77 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−39,77)·0,7071 = 28,12 kN

Jawaban

FAC = 28,12 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 8,75 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB20 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 + 5·2 → Cy = 17,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 17,5 = 2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17,5/0,8944 = −19,57 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−19,57)·0,4472 = 8,75 kN

Jawaban

FAC = 8,75 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 1,256 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,256 mm

Jawaban

δ = 1,256 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 2,093 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2500⁴/(384·70000·6,944) = 2,093 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,093 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 2,093 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 248,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Jawaban

Pcr = 248,1 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 3,084 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/12,5 = 800

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Jawaban

σcr = 3,084 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis