Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 30 kNP2​ = 80 kNABCRA​ = ?2 m4 m2 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 6 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 30 kN di 2 mP2 = 80 kN di 8 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 40 kNADCMA​ = ?2,5 m1 m2,5 m

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 40 kN di 3,5 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
50 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 4 m25 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 25 kNABpotongan3 m0,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 25 kN di 3 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB15 kN8 m2 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 15 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB25 kN15 kN4 m1 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 15 kN ←
FAB = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mP = 6 kNABδ5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 6 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mABδ5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm
hreq = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m30 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = −6,667 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·2 + 80·8
RB = 700/6 = 116,7 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 30 + 80 − 116,7 = −6,667 kN

Jawaban

RA = −6,667 kN

RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 71,43 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣMC = 0: RD·3,5 = 40·1
RD = 11,43 kN
VC = 40 − 11,43 = 28,57 kN

Bagian AC

Gaya sendi VC bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

RA = 28,57 = 28,57 kN
MA = 28,57·2,5 = 71,43 kN·m

Jawaban

MA = 71,43 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 37,5 kN, R2 = 37,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 75, MC = 150 kN·m, MD = 125, ME = 100, MF = 75, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 150 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 30,38 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3 + 3·5·2,5
RB = 112,5/5 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 22,5 = 17,5 kN
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = 17,5RB​ = 22,5potongan3 m0,5 m1,5 m

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 17,5·3,5 − 25·(3,5 − 3) − 3·3,5·1,75 = 30,38 kN·m

Jawaban

Mx = 30,38 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −12,58 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·2 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −11,25/0,8944 = −12,58 kN

Jawaban

FAB = −12,58 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −31,62 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB25 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 − 15·3 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − −5 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0,9487 = −31,62 kN

Jawaban

FAB = −31,62 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 57,2 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 6000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 6000·5000³/(3·1,12 × 10¹³) = 22,32 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·5000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 34,88 mm

Jumlahkan

δ = 22,32 + 34,88 = 57,2 mm

Jawaban

δ = 57,2 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 294,6 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,131 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,131 × 10⁸/100)1/3 = 294,6 mm

Jawaban

hreq = 294,6 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 19,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2500² = 19897 N = 19,9 kN

Jawaban

Pcr = 19,9 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 2,999 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12,5 = 480

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Jawaban

σcr = 2,999 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis