Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 10 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​2,5 m1 m2,5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 6 mP1 = 10 kN di 2,5 mP2 = 40 kN di 3,5 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 4 kN/mP = 15 kNABMA​ = ?4 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 4 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 4 mw0 = 4 kN/mP = 15 kN di 4 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mABpotongan2,5 m1,5 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m
Vx = kN
4.Gaya geser & momen lenturSulit
45 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 12 m25 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB55 kN6 m2 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 55 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB40 kN20 kN6 m5 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 40 kNbeban horizontal = 20 kN →
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 18 kNABδ1 m2 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 18 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 2,5 kN/mABδ3,5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm
hreq = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 6 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 22,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 10 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2,5 m1 m2,5 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·6 = 10·2,5 + 40·3,5
RB = 165/6 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27,5 = 22,5 kN

Jawaban

RA = 22,5 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 70,67 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·4 = 8 kN
x̄ = L/3 = 1,333 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 8·1,333 + 15·4 = 70,67 kN·m

Jawaban

MA = 70,67 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = −4 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16potongan2,5 m1,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 16 − 8·2,5 = −4 kN

Jawaban

Vx = −4 kN
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 11 kN, R2 = 59 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 22, MC = −6, MD = −34, ME = −62, MF = −90 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −90 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 24,44 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 55·2 → Cy = 18,33 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 18,33 = 36,67 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,33/0,6 = −30,56 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−30,56)·0,8 = 24,44 kN

Jawaban

FAC = 24,44 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −44,72 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB40 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 + 20·2 → Cy = 40 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 40 = 0 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −40/0,8944 = −44,72 kN

Jawaban

FBC = −44,72 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 1,361 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1000²·2000²/(3·5,88 × 10¹²·3000) = 1,361 mm

Jawaban

δP = 1,361 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 194,1 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·4,568 × 10⁷/75)1/3 = 194,1 mm

Jawaban

hreq = 194,1 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 34,88 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Jawaban

Pcr = 34,88 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 38,86 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σcr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis