Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 20 kNP2​ = 55 kNABCRA​ = ?2,5 m1,5 m2 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

AB = 4 mAC = 6 mP1 = 20 kN di 2,5 mP2 = 55 kN di 6 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 4 mP = 60 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 2 sampai 4 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 4 kN/mABpotongan3 m2 m

Cari gaya geser Vx pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3 m
Vx = kN
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mABC8 m2,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum Mmax di antara tumpuan.

L = 10,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB35 kN6 m1 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 35 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB25 kN10 kN6 m4 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 3 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 25 kNbeban horizontal = 10 kN ←
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mABθ2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 45 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = −20 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·2,5 + 55·6
RB = 380/4 = 95 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 20 + 55 − 95 = −20 kN

Jawaban

RA = −20 kN

RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 27 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1 + 8·2·3
RB = 108/4 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 27 = 49 kN

Jawaban

RB = 27 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = −2 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2,5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 10RB​ = 10potongan3 m2 m

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = RA − (semua beban ke bawah di kiri potongan)
Vx = 10 − 4·3 = −2 kN

Jawaban

Vx = −2 kN
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 39,08 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10,5 = 63 kN, bekerja di x̄ = 5,25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·10,5·5,25
RB = 330,8/8 = 41,34 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 41,34 = 21,66 kN

Gaya geser nol

RA − w·x0 = 0 → x0 = 21,66/6 = 3,609 m

Momen positif maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 21,66²/(2·6) = 39,08 kN·m

Jawaban

Mmax = 39,08 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 9,722 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·1 → Cy = 5,833 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 5,833 = 29,17 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5,833/0,5145 = −11,34 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11,34)·0,8575 = 9,722 kN

Jawaban

FAC = 9,722 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 7,778 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB25 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 25·4 − 10·3 → Cy = 11,67 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 11,67 = 13,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,67/0,8321 = −14,02 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−14,02)·0,5547 = 7,778 kN

Jawaban

FAC = 7,778 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,003946 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 8·2500³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,003946 rad

Jawaban

θA = 0,003946 rad

Itu sama dengan 0,2261°.

8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 289,3 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,893 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 289,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 289,3 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 37,85 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4000² = 37849 N = 37,85 kN

Jawaban

Pcr = 37,85 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 80,72 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,72 mm

Jawaban

d = 80,72 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 198,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis