Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 8 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?5 m1 m4 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 6 m dan beban terpusat P pada 5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 10 mP = 20 kN di 5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 m
MA = kN·m
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 25 kNQ = 70 kNADCRD​ = ?2 m1 m5 m2 m

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (10 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 8 m dari A dan beban terpusat Q pada 2 m dari A. Cari reaksi RD di rol.

AC = 3 mAD = 10 mP = 25 kN di 8 mQ = 70 kN di 2 m
RD = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mP = 60 kNABpotongan0,5 m0,5 m4 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur Mx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 60 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
45 kN15 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 0 m15 kN @ 6 m35 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB10 kN5 m1 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 10 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB10 kN30 kN6 m2 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 10 kNbeban horizontal = 30 kN ←
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 2 kN/mδL = 1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1 m30 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 244 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m

Momen terhadap dinding

MA = P·a + W·x̄ = 20·5 + 48·3 = 244 kN·m

Jawaban

MA = 244 kN·m
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RD = 17,86 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣMC = 0: RD·7 = 25·5
RD = 17,86 kN
VC = 25 − 17,86 = 7,143 kN

Jawaban

RD = 17,86 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −111 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −60·0,5 = −30 kN·m
w: −8·4,5²/2 = −81 kN·m
Mx = −30 − 81 = −111 kN·m

Jawaban

Mx = −111 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 70 kN, R2 = 25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −45 kN·m, MC = −20, MD = 5, ME = −5, MF = −15, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = −45 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 2 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·1 → Cy = 2 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2 = 8 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2/0,7071 = −2,828 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−2,828)·0,7071 = 2 kN

Jawaban

FAC = 2 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = −13,33 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB10 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 − 30·2 → Cy = −6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −6,667 = 16,67 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6,667/0,4472 = 14,91 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(14,91)·0,8944 = −13,33 kN

Jawaban

FAC = −13,33 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 2,127 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 2,127 mm

Jawaban

δ = 2,127 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5,556) = 2,813 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,813 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 2,813 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 23,32 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2000² = 23317 N = 23,32 kN

Jawaban

Pcr = 23,32 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 30,71 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Jawaban

σcr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis