Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w0​ = 12 kN/mP = 65 kNABRA​ = ?7 m1 m

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 12 kN/m di A sampai nol di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 7 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 8 mw0 = 12 kN/mP = 65 kN di 7 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 45 kNADCMA​ = ?2 m3 m1 m

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 5 m dari A. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

AC = 2 mAD = 6 mP = 45 kN di 5 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 40 kN·mAB1 m9 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 40 kN·m di x = 1 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM0 = 40 kN·m searah jarum jam, di 1 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 15 kNABpotongan1 m7 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 15 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH25 kN20 kN30 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH10 kN10 kN40 kN15 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 10 kN ↓C: 10 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
7.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mP = 3 kNABδ2,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 3 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 3 kN/mABδ4 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/250. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 75 mm
hreq = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 100 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 40,13 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·8 = 48·2,667 + 65·7
RB = 72,88 kN
RA = 113 − 72,88 = 40,13 kN

Jawaban

RA = 40,13 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 22,5 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣMC = 0: RD·4 = 45·3
RD = 33,75 kN
VC = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Bagian AC

Gaya sendi VC bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

RA = 11,25 = 11,25 kN
MA = 11,25·2 = 22,5 kN·m

Jawaban

MA = 22,5 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 36 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (ke atas)
RA = −RB = −4 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.

Mx = RA·a + M0 = −4·1 + 40 = 36 kN·m

Jawaban

Mx = 36 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 20,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 2·8·4
RB = 79/8 = 9,875 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 9,875 = 21,13 kN
w = 2 kN/mP = 15 kNABRA​ = 21,13RB​ = 9,875potongan1 m7 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 21,13·1 − 2·1·0,5 = 20,13 kN·m

Jawaban

Mx = 20,13 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 27,19 kN (T), BC: 35,62 kN (T), CD: 35,62 kN (T), DE: 29,06 kN (T), FG: 27,19 kN (C), GH: 29,06 kN (C), AF: 45,31 kN (C), HE: 48,44 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 14,06 kN (C), DG: 10,94 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 21,25 kN (T), BC: 21,25 kN (T), CD: 23,75 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 37,12 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 2,279 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 3000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 3000·2500³/(3·2,4 × 10¹³) = 0,651 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1,628 mm

Jumlahkan

δ = 0,651 + 1,628 = 2,279 mm

Jawaban

δ = 2,279 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 208,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·16) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,682 × 10⁷/75)1/3 = 208,7 mm

Jawaban

hreq = 208,7 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 70,32 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Jawaban

Pcr = 70,32 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,89 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,89 mm

Jawaban

d = 83,89 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 190,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis