Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P = 20 kNM = 10 kN·mABRA​ = ?2 m0,5 m3,5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 2 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 2,5 m dari A. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

L = 6 mP = 20 kN di 2 mM = 10 kN·m (searah jarum jam) di 2,5 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 8 kN/mP = 40 kNABRA​ = ?RB​6 m1 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 8 mP = 40 kN di 7 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 50 kN·mAB3 m2 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 50 kN·m di x = 3 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mM0 = 50 kN·m searah jarum jam, di 3 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mP = 65 kNAB7 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP = 65 kN di 7 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 8 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB50 kN8 m5 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB50 kN15 kN6 m2 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 50 kNbeban horizontal = 15 kN ←
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 5 kN/mAB3 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari besar momen lentur MA di ujung jepit.

L = 3 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
9.Tekuk kolomSedang
PL = 6 m30 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 11,67 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 − 20·2 − 10 = 0
RB = 50/6 = 8,333 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 20 − 8,333 = 11,67 kN

Jawaban

RA = 11,67 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 35 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 8 kN/mP = 40 kNABRA​RB​6 m1 m1 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·8 = 40·7 + 8·6·3
RB = 424/8 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 88 − 53 = 35 kN

Jawaban

RA = 35 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 20 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 50/5 = 10 kN (ke atas)
RA = −RB = −10 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.

Mx = RA·a + M0 = −10·3 + 50 = 20 kN·m

Jawaban

Mx = 20 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 72,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 65·7 + 4·8·4
RB = 583/8 = 72,88 kN
ΣFy = 0: RA = 97 − 72,88 = 24,13 kN

Di mana V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 24,13/4 = 6,031 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 24,13·6,031 − 4·6,031²/2 = 72,75 kN·m

Jawaban

Mmax = 72,75 kN·m

Terjadi di x = 6,031 m dari A.

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −50,49 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·5 → Cy = 31,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 31,25 = 18,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,3714 = −50,49 kN

Jawaban

FAB = −50,49 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −9,428 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·2 − 15·4 → Cy = 6,667 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 6,667 = 43,33 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6,667/0,7071 = −9,428 kN

Jawaban

FBC = −9,428 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 25,69 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 25,69 mm

Jawaban

δmax = 25,69 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: MA = 5,625 kN·m

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5,625 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

MA = wL²/2 − RB·L = 22,5 − 16,88 = 5,625 kN·m

Jawaban

MA = 5,625 kN·m
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 12,34 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/6000² = 12337 N = 12,34 kN

Jawaban

Pcr = 12,34 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,12 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/12,5 = 336

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6,12 MPa

Jawaban

σcr = 6,12 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis