Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 25 kNP2​ = 75 kNABCRA​ = ?3 m1,5 m1,5 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.

AB = 4,5 mAC = 6 mP1 = 25 kN di 3 mP2 = 75 kN di 6 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?3,5 m1,5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 5 mP = 25 kN di 3,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 40 kN·mAB6 m2 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 40 kN·m di x = 6 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mM0 = 40 kN·m searah jarum jam, di 6 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mABC6 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 7,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
xc = m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH20 kN35 kN35 kN15 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 20 kN ↓D: 35 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH25 kN35 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 25 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
7.Lendutan balokSedang
P = 26 kNABδ2 m3 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 2 m dari A. Cari lendutan δB di ujung bebas B.

P = 26 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mAB3 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari besar momen lentur MA di ujung jepit.

L = 3 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 135 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 135 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = −16,67 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·4,5 = 25·3 + 75·6
RB = 525/4,5 = 116,7 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 25 + 75 − 116,7 = −16,67 kN

Jawaban

RA = −16,67 kN

RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 30 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​3,5 m1,5 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,5 + 5·5·2,5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 30 = 20 kN

Jawaban

RB = 30 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 10 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 40/8 = 5 kN (ke atas)
RA = −RB = −5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat RA dan kopel.

Mx = RA·a + M0 = −5·6 + 40 = 10 kN·m

Jawaban

Mx = 10 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 5,625 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·7,5 = 75 kN, bekerja di x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·7,5·3,75
RB = 281,3/6 = 46,88 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 46,88 = 28,13 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·28,13/10 = 5,625 m

Jawaban

xc = 5,625 m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 45 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 63,64 kN (C), HE: 84,85 kN (C), BF: 45 kN (T), CG: 0, DH: 45 kN (T), BG: 35,36 kN (C), DG: 14,14 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 20 kN (C), BC: 5 kN (C), CD: 5 kN (C), DE: 10 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 14,14 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 21,21 kN (C), DG: 21,21 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
7.Lendutan balok

Jawaban: δB = 7,042 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δP = Pa³/(3EI) = 2,167 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001625 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 7,042 mm

Jawaban

δB = 7,042 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: MA = 16,88 kN·m

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·3/8 = 16,88 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

MA = wL²/2 − RB·L = 67,5 − 50,63 = 16,88 kN·m

Jawaban

MA = 16,88 kN·m
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 52,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Jawaban

Pcr = 52,99 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 78,32 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·135000 = 405000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 78,32 mm

Jawaban

d = 78,32 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 153,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis