Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 5 mP1 = 40 kN di 1 mP2 = 20 kN di 3 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 20 kN/mP = 80 kNABMA​ = ?4 m4 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 20 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 8 mw0 = 20 kN/mP = 80 kN di 4 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 6 kN/mABpotongan6 m4 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 6 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mABC4 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur positif maksimum Mmax di antara tumpuan.

L = 5,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 4 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB25 kN4 m1 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 25 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH35 kN30 kN40 kN35 kN4 × 3 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

C: 35 kN ↓D: 30 kN ↓F: 40 kN →G: 35 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
7.Lendutan balokSedang
w = 6 kN/mδL = 2,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 5 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 5 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 20 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 40 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m2 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 20·3
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 20 = 40 kN

Jawaban

RB = 20 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 746,7 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 80·5,333 + 80·4 = 746,7 kN·m

Jawaban

MA = 746,7 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 72 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30potongan6 m4 m

Potong di x = 6 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 30·6 − 6·6·3 = 72 kN·m

Jawaban

Mx = 72 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 7,385 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5,5 = 27,5 kN, bekerja di x̄ = 2,75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·5,5·2,75
RB = 75,63/4 = 18,91 kN
ΣFy = 0: RA = 27,5 − 18,91 = 8,594 kN

Gaya geser nol

RA − w·x0 = 0 → x0 = 8,594/5 = 1,719 m

Momen positif maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 8,594²/(2·5) = 7,385 kN·m

Jawaban

Mmax = 7,385 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −19,76 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

Jawaban

FAB = −19,76 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen BF

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 61,88 kN (T), BC: 61,88 kN (T), CD: 53,12 kN (T), DE: 53,12 kN (T), FG: 83,75 kN (C), GH: 83,75 kN (C), AF: 36,46 kN (C), HE: 88,54 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 36,46 kN (T), HC: 51,04 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: BF
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,982 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 4,982 mm

Jawaban

δ = 4,982 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 6,328 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·200000·8,333) = 6,328 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6,328 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 6,328 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 86,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Jawaban

Pcr = 86,82 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 38,84 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 38,84 mm

Jawaban

d = 38,84 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 432,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis