Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 40 kNP2​ = 40 kNABRA​ = ?RB​2,5 m1,5 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 5 mP1 = 40 kN di 2,5 mP2 = 40 kN di 4 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 75 kN, 30°Q = 40 kNABRA​ = ?2 m7 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 2 m dari A, miring 30° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 9 m dari A. Cari besar gaya reaksi total RA di sendi A.

L = 10 mP = 75 kN di 2 m, θ = 30°Q = 40 kN di 9 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 10 kN/mP = 80 kNABpotongan1 m1,5 m1,5 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2,5 m dari A. Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 80 kN di 2,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mABC5 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 6,5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 6,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
xc = m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB15 kN8 m3 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 15 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH25 kN15 kN30 kN25 kN35 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 25 kN ↓C: 15 kN ↓F: 30 kN →G: 25 kN ↓H: 35 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen FC
  13. 13elemen HC
7.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 5 kN/mAB8 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari besar momen lentur MA di ujung jepit.

L = 8 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m20 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 28 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 40 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​2,5 m1,5 m1 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·2,5 + 40·4
RB = 260/5 = 52 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 52 = 28 kN

Jawaban

RA = 28 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 73,31 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

Pv = 75·sin 30° = 37,5 kN
Ph = 75·cos 30° = 64,95 kN

Reaksi

ΣMA = 0: RB·10 = 37,5·2 + 40·9 → RB = 43,5 kN
Ay = 37,5 + 40 − 43,5 = 34 kN
Ax = Ph = 64,95 kN

Resultan di A

RA = √(64,95² + 34²) = 73,31 kN

Jawaban

RA = 73,31 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −165 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −80·1,5 = −120 kN·m
w: −10·3²/2 = −45 kN·m
Mx = −120 − 45 = −165 kN·m

Jawaban

Mx = −165 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 4,55 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·6,5 = 13 kN, bekerja di x̄ = 3,25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·6,5·3,25
RB = 42,25/5 = 8,45 kN
ΣFy = 0: RA = 13 − 8,45 = 4,55 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·4,55/2 = 4,55 m

Jawaban

xc = 4,55 m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −16,9 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·3 → Cy = 5,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5,625 = 9,375 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −9,375/0,5547 = −16,9 kN

Jawaban

FAB = −16,9 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 56,57 kN (C), HE: 84,85 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 21,21 kN (T), HC: 35,36 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH
7.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 3,468 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 3,468 mm

Jawaban

δmax = 3,468 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: MA = 40 kN·m

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

MA = wL²/2 − RB·L = 160 − 120 = 40 kN·m

Jawaban

MA = 40 kN·m
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 16,38 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1500² = 16376 N = 16,38 kN

Jawaban

Pcr = 16,38 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 12,34 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/7,5 = 400

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis