Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P = 20 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?2 m1,5 m0,5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 2 m dari A dan kopel berlawanan arah jarum jam M pada 3,5 m dari A. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

L = 4 mP = 20 kN di 2 mM = 60 kN·m (berlawanan arah jarum jam) di 3,5 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​1 m2 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 4 mP = 35 kN di 1 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 3 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
5 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 6 m5 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 35 kNABpotongan4,5 m0,5 m5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 35 kN di 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB50 kN8 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB20 kN5 kN4 m1 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 20 kNbeban horizontal = 5 kN →
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
P = 15 kNABδ1,5 m2,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 15 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mδL = 1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 6 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 40 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 40 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = −5 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·4 − 20·2 + 60 = 0
RB = −20/4 = −5 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 20 − (−5) = 25 kN

Jawaban

RB = −5 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 33,75 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 4 kN/mP = 35 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1 + 4·3·1,5
RB = 53/4 = 13,25 kN
ΣFy = 0: RA = 47 − 13,25 = 33,75 kN

Jawaban

RA = 33,75 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 46,67 kN, R2 = 38,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 83,33, MC = 146,7, MD = 190 kN·m, ME = 143,3, MF = 76,67, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 190 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 153 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·5 + 6·10·5
RB = 475/10 = 47,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 47,5 = 47,5 kN
w = 6 kN/mP = 35 kNABRA​ = 47,5RB​ = 47,5potongan4,5 m0,5 m5 m

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 47,5·4,5 − 6·4,5·2,25 = 153 kN·m

Jawaban

Mx = 153 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 23,44 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·3 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 18,75 = 31,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18,75/0,6247 = −30,01 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−30,01)·0,7809 = 23,44 kN

Jawaban

FAC = 23,44 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 11,25 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB20 kN5 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 + 5·2 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 7,5 = 12,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,5547 = −13,52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13,52)·0,8321 = 11,25 kN

Jawaban

FAC = 11,25 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δP = 10,92 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 15000·1500²·2500²/(3·1,61 × 10¹²·4000) = 10,92 mm

Jawaban

δP = 10,92 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,808 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1,808 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 1,808 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 71,19 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4200² = 71188 N = 71,19 kN

Jawaban

Pcr = 71,19 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 52,21 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 52,21 mm

Jawaban

d = 52,21 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 229,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis