Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 4,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 6 mP = 20 kN di 4,5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_A = kN·m

2.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

AC = 3 mAD = 6 mP = 40 kN di 5 mw = 5 kN/m dari 3 sampai 6 m

M_A = kN·m

3.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mP₁ = 75 kN di 2 mP₂ = 30 kN di 3 m

M_max = kN·m

4.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mw = 24 kN/m dari 2 sampai 7 m

M_max = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 55 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 35 kN ↓F: 25 kN →G: 35 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

7.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 126 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 2·6 = 12 kN, x̄ = 3 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 20·4,5 + 12·3 = 126 kN·m

Jawaban

M_A = 126 kN·m

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 62,5 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

W = 5·3 = 15 kN di 1,5 m dari C

ΣM_C = 0: R_D·3 = 40·2 + 15·1,5

R_D = 34,17 kN

V_C = 55 − 34,17 = 20,83 kN

Bagian AC

Gaya sendi V_C bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

R_A = 20,83 = 20,83 kN

M_A = 20,83·3 = 62,5 kN·m

Jawaban

M_A = 62,5 kN·m

3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 150 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·2 + 30·3

R_B = 240/8 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 30 = 75 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·2 = 75·2 = 150 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·5 = 30·5 = 150 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 150 kN·m (di bawah P₁)

Jawaban

M_max = 150 kN·m

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 162,4 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 24·5 = 120 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 24·5·4,5

R_B = 540/8 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 67,5 = 52,5 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 52,5/24 = 4,188 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 52,5·4,188 − 24·2,188²/2 = 162,4 kN·m

Jawaban

M_max = 162,4 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 27,5 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·2 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,4472 = −30,75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−30,75)·0,8944 = 27,5 kN

Jawaban

F_AC = 27,5 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 45 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 28,28 kN (C), HE: 70,71 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 50 kN (T), BG: 28,28 kN (C), DG: 21,21 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

7.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,007398 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2500³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,007398 rad

Jawaban

θ_A = 0,007398 rad

Itu sama dengan 0,4239°.

8.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·1500⁴/(384·11000·4,167) = 8,629 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 8,629 × 10⁶ mm⁴

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 13,25 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

Jawaban

P_cr = 13,25 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 64,45 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/10 = 175

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Jawaban

σ_cr = 64,45 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis