Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?1,5 m0,5 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 4 mP1 = 20 kN di 1,5 mP2 = 50 kN di 2 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w0​ = 10 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?4,5 m0,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 10 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 5 mw0 = 10 kN/mP = 35 kN di 4,5 m
MA = kN·m
3.Gaya geser & momen lenturSedang
35 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 2 m30 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mP = 60 kNABpotongan2,5 m2,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 60 kN di 2,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB50 kN8 m6 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 6 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH35 kN30 kN35 kN35 kN4 × 3 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 35 kN ↓D: 30 kN ↓H: 35 kN ↓H: 35 kN ←
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
7.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 2,5 kN/mABδ3,5 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 125 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/250. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 125 mm
hreq = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 4 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 32,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 20 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,5 + 50·2
RB = 130/4 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 32,5 = 37,5 kN

Jawaban

RB = 32,5 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 199,2 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

Momen terhadap dinding

MA = W·x̄ + P·a = 25·1,667 + 35·4,5 = 199,2 kN·m

Jawaban

MA = 199,2 kN·m
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 39,17 kN, R2 = 25,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 78,33, MC = 86,67, MD = 95, ME = 103,3 kN·m, MF = 51,67, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 103,3 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 100 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·2,5 + 8·5·2,5
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​ = 50RB​ = 50potongan2,5 m2,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 50·2,5 − 8·2,5·1,25 = 100 kN·m

Jawaban

Mx = 100 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −22,53 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 50·6 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/7,211 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −12,5/0,5547 = −22,53 kN

Jawaban

FAB = −22,53 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 16,25 kN (T), BC: 32,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 48,75 kN (T), FG: 51,25 kN (C), GH: 83,75 kN (C), AF: 72,48 kN (C), HE: 68,94 kN (C), BF: 51,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 22,98 kN (C), DG: 22,98 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 2,751 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 2,751 mm

Jawaban

δ = 2,751 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 144,9 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·14) = 3,172 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,172 × 10⁷/125)1/3 = 144,9 mm

Jawaban

hreq = 144,9 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 86,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86,82 kN

Jawaban

Pcr = 86,82 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 1,687 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12,5 = 640

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1,687 MPa

Jawaban

σcr = 1,687 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis