Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 30 kNP2​ = 20 kNABCRB​ = ?4 m1 m3 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 30 kN di 4 mP2 = 20 kN di 8 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 70 kN, 60°Q = 55 kNABRA​ = ?1 m6 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 1 m dari A, miring 60° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 7 m dari A. Cari besar gaya reaksi total RA di sendi A.

L = 8 mP = 70 kN di 1 m, θ = 60°Q = 55 kN di 7 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
10 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 50 kNAB4,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP = 50 kN di 4,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB45 kN4 m1 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 45 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB55 kN10 kN5 m2 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 55 kNbeban horizontal = 10 kN ←
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 4 kN/mP = 14 kNABδ1,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 14 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mP = 18 kNδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 18 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m25 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 60 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 56 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·5 = 30·4 + 20·8
RB = 280/5 = 56 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 30 + 20 − 56 = −6 kN

Jawaban

RB = 56 kN

RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.

2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 69,39 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

Pv = 70·sin 60° = 60,62 kN
Ph = 70·cos 60° = 35 kN

Reaksi

ΣMA = 0: RB·8 = 60,62·1 + 55·7 → RB = 55,7 kN
Ay = 60,62 + 55 − 55,7 = 59,92 kN
Ax = Ph = 35 kN

Resultan di A

RA = √(35² + 59,92²) = 69,39 kN

Jawaban

RA = 69,39 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 45 kN, R2 = 60 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 40, MC = 70, MD = 90, ME = 100 kN·m, MF = 55, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 100 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 90,31 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·4,5 + 10·6·3
RB = 405/6 = 67,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 67,5 = 42,5 kN

Di mana V = 0?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 42,5/10 = 4,25 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 42,5·4,25 − 10·4,25²/2 = 90,31 kN·m

Jawaban

Mmax = 90,31 kN·m

Terjadi di x = 4,25 m dari A.

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAB = −35,58 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 45·1 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −33,75/0,9487 = −35,58 kN

Jawaban

FAB = −35,58 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −32,45 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB55 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·2 − 10·2 → Cy = 18 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 18 = 37 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −18/0,5547 = −32,45 kN

Jawaban

FBC = −32,45 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,582 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 14000·1500³/(3·3,99 × 10¹²) = 3,947 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·1500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 0,6344 mm

Jumlahkan

δ = 3,947 + 0,6344 = 4,582 mm

Jawaban

δ = 4,582 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 10,88 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·5,88 × 10¹²) = 4,082 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 6,803 mm

Jumlahkan

δmax = 4,082 + 6,803 = 10,88 mm

Jawaban

δmax = 10,88 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 98,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1250² = 98696 N = 98,7 kN

Jawaban

Pcr = 98,7 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 73,84 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 73,84 mm

Jawaban

d = 73,84 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 216,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis