Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 60 kNP2​ = 45 kNABCRB​ = ?3 m3 m2 m

Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 6 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.

AB = 6 mAC = 8 mP1 = 60 kN di 3 mP2 = 45 kN di 8 m
RB = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​1,5 m4,5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 6 mP = 60 kN di 1,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 m
RA = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
6 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 4 m6 kN/m, 2–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mP = 25 kNABpotongan1 m4 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 25 kN di 1 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB10 kN4 m1 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 10 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB35 kN15 kN4 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 15 kN →
FAC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mδL = 8 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 80 kNL = 1,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 90 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·3 + 45·8
RB = 540/6 = 90 kN

Kesetimbangan vertikal

RA = 60 + 45 − 90 = 15 kN

Jawaban

RB = 90 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 54 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 3 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1,5 m4,5 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·1,5 + 3·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 24 = 54 kN

Jawaban

RA = 54 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 22,5 kN, R2 = 40,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 22,5, MC = 45, MD = 64,5, ME = 78 kN·m, MF = 40,5, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 78 kN·m
4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 44 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1 + 12·5·2,5
RB = 175/5 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 35 = 50 kN
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = 50RB​ = 35potongan1 m4 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 50·1 − 12·1·0,5 = 44 kN·m

Jawaban

Mx = 44 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 2,5 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·1 → Cy = 2,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −2,5/0,7071 = −3,536 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−3,536)·0,7071 = 2,5 kN

Jawaban

FAC = 2,5 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 10,31 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB35 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 15·4 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 41,25 = −6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −41,25/0,9701 = −42,52 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−42,52)·0,2425 = 10,31 kN

Jawaban

FAC = 10,31 kN (tarik)
7.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 7,445 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 7,445 mm

Jawaban

δmax = 7,445 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·8000⁴/(384·70000·22,22) = 3,429 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 342,9 × 10⁶ mm⁴
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 55,56 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/5000² = 55563 N = 55,56 kN

Jawaban

Pcr = 55,56 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 89,33 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 89,33 mm

Jawaban

d = 89,33 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 134,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis