Analisis Struktur: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 8 kN/mP = 75 kNABRA​ = ?3,5 m0,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari reaksi vertikal RA di dinding.

L = 4 mP = 75 kN di 3,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 4 m
RA = kN
2.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​ = ?3 m1 m6 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 10 mP = 30 kN di 4 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 3 m
RB = kN
3.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mP = 65 kNABpotongan2,5 m0,5 m2 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 3 m dari A. Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 65 kN di 3 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
4.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mABC5 m2,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 7,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
xc = m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB45 kN8 m2 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 45 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB45 kN10 kN8 m7 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 7 m dari Abeban vertikal = 45 kNbeban horizontal = 10 kN ←
FBC = kN
7.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.Lendutan balokSulit
P = 22 kNABδ4,5 m3,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 3,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 22 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 30 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 107 kN

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Kesetimbangan vertikal

RA = P + W = 75 + 32 = 107 kN

Jawaban

RA = 107 kN
2.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 14,25 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 5 kN/mP = 30 kNABRA​RB​3 m1 m6 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 5·3·1,5
RB = 142,5/10 = 14,25 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 14,25 = 30,75 kN

Jawaban

RB = 14,25 kN
3.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −57,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −65·0,5 = −32,5 kN·m
w: −8·2,5²/2 = −25 kN·m
Mx = −32,5 − 25 = −57,5 kN·m

Jawaban

Mx = −57,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

4.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 3,75 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·7,5 = 45 kN, bekerja di x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·7,5·3,75
RB = 168,8/5 = 33,75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 33,75 = 11,25 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·11,25/6 = 3,75 m

Jawaban

xc = 3,75 m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FAC = 33,75 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·2 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −11,25/0,3162 = −35,58 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−35,58)·0,9487 = 33,75 kN

Jawaban

FAC = 33,75 kN (tarik)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −35,43 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB45 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·7 − 10·4 → Cy = 34,38 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 34,38 = 10,63 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −34,38/0,9701 = −35,43 kN

Jawaban

FBC = −35,43 kN (tekan)
7.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,394 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 2,394 mm

Jawaban

δmax = 2,394 mm
8.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 20,52 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 20,52 mm

Jawaban

δmax = 20,52 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 6,867 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Jawaban

Pcr = 6,867 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 93,8 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·10000²/(π³·200000))^(1/4) = 93,8 mm

Jawaban

d = 93,8 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 426,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis