Una rendita paga €1 500 alla fine di ogni anno per 7 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 500i = 8%n = 7
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €150 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €150 0004,8% / 12N = 360
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €400 000 oggi. Genera €22 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 3% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €400 000CF1 = €22 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €40 000 e restituisce €17 000, €28 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 17 000CF2 = 28 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 6%YTM = 9%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 171. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 4 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 171prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 4 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,5. Il suo costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 0,5re = 8%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €43,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,9, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 0,9rf = 3%rm = 7%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 51, 38, 57, 20, 21, 40, 42.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 76?
μ = 60σ = 8x = 76
P =
11.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.
n = 15k = 2
N =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 7 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,6, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 7p = 0,6k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1251. Trova z con due decimali.
A = 0,1251
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,03 mm e deviazione standard 0,015 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 20 elementi ha media 105,5 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 20x̄ = 105,5s = 1599%t(19) = 2,861
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 15 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 6,5 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 14, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 5,629 e il 2,5% sopra 26,119.
n = 15s = 6,5 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 84,6 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 84,6s = 20n = 25
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 81 misure ha media 99,7. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 99,7σ = 4n = 8190%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 5
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 23.
n = 6x = 23
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 7810 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5835)/0,08 = 5,206
Valore attuale
PV = 1 500·5,206 = €7 809,56
Risposta
PV = €7 809,56
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 787 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2376
A = 150 000·0,004/(1 − 0,2376) = €787,00
Risposta
A = €787,00
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 40000 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 22 000/(0,08 − 0,03) = 440 000,00
NPV
NPV = 440 000,00 − 400 000 = €40 000,00
Risposta
NPV = €40 000,00
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 7,572 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 587,30
NPV(10%) = −1 404,96
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, i = 0,045, N = 10
Valore attuale delle cedole
€30,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €237,38
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,6439 = €643,93
Prezzo
P = €881,31
Risposta
P = €881,31
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 1,754 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1171 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Risolvi numericamente
y = 1%: €1 204,13
y = 2%: €1 160,42
YTC = 1,754%
Risposta
YTC = 1,754%
Il rendimento a scadenza è del 2,996%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,518 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 1 000 000·€43,00 = €43 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3% + 0,9·4% = 6,6%
Pesi
V = €64 000 000, E/V = 0,6719, D/V = 0,3281
WACC
WACC = 0,6719·6,6% + 0,3281·6%·(1 − 0,21) = 5,99%
Risposta
WACC = 5,99%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,91
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 2
Tavola della normale standard
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
11.Probabilità
Risposta: N = 105
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105
Risposta
N = 105
12.Probabilità
Risposta: P = 0,07741
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,1251 = 0,8749
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,8749 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,15
Risposta
z = 1,15
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9515
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Standardizza
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Risposta
P = 0,9515
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 9,596
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Margine di errore
E = 2,861·15/√20 = 9,596
Risposta
E = 9,596
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 10,25 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 14·6,5² = 591,5
Limiti per σ²
591,5/26,119 = 22,65
591,5/5,629 = 105,1
Limite per σ
σ = √105,1 = 10,25 µm
Risposta
σ = 10,25 µm
Intervallo al 95% per σ: [4,759, 10,25] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√25 = 20/5 = 4
Statistica test
t = (84,6 − 75)/4 = 2,4
Risposta
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 100,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·4/√81 = 0,7311
Limite dell'intervallo
U = 99,7 + 0,7311 = 100,4
Risposta
U = 100,4
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9671
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 297/5 = 59,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1251
Coefficiente di determinazione
r² = 220²/(40·1251) = 0,9671
Risposta
r² = 0,9671
Circa il 96,71% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 121,5
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 602/6 = 100,3
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 370
Retta di regressione
b = 370/70 = 5,286
a = 100,3 − 5,286·19 = −0,09524
ŷ = −0,09524 + 5,286·x
Previsione
ŷ = −0,09524 + 5,286·23 = 121,5
Risposta
ŷ = 121,5
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