Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 15%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 15%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 6? Trova il debito residuo B.
P = €250 0004,8% / 12N = 360k = 72
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €20 000, €10 000, €20 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €80 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €9 500 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 10. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €80 000CF1 = €9 500g = 3%n = 10r = 10%
NPV = €
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 5 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 5% al 5,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 5y1 = 5%y2 = 5,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 5 anni e quota €1 085. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 5P = €1 085
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €4 000 000 e debito per €3 000 000. Il suo WACC è del 6,07%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 5% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €37,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 000 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 3%rm = 10%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 37, 13, 23, 54, 25, 14.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 90?
μ = 100σ = 20x = 90
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,25, 0,3
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 3 €. Si vincono 15 € con probabilità 0,3 e 30 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €3€15: p = 0,3€30: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 247,75 e 259 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 247,75x2 = 259
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 15 elementi ha media 31 e deviazione standard s = 19. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 15x̄ = 31s = 1995%t(14) = 2,145
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 30 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 0,7 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 29, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 16,047 e il 2,5% sopra 45,722.
n = 30s = 0,7 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
15 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −4,1 e la deviazione standard delle differenze è 6,9. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = −4,1sd = 6,9
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 100 misure ha media 499,1. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 499,1σ = 15n = 10099%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 24,5.
n = 6x = 24,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 15,56 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,15/2 = 0,075
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,075)2 − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%
Risposta
EAR = 15,56%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 224055 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 72 = 288
B = 1312·(1 − (1 + 0,004)−288)/0,004 = €224 054,70
Risposta
B = €224 054,70
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −439,7 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 20 000/1,06 = 18 867,92
CF2/(1 + 0,06)2 = 10 000/1,124 = 8 899,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 20 000/1,191 = 16 792,39
Sommali
NPV = €−439,73
Risposta
NPV = €−439,73
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: NPV = −14604 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale della rendita crescente
((1,03)/(1,1))10 = 0,5181
PV = 9 500/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,5181) = 65 395,57
NPV
NPV = 65 395,57 − 80 000 = −€14 604,43
Risposta
NPV = −€14 604,43
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −20,17 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Risolvi numericamente
P(5%) = €1 086,59, P(6%) = €1 042,12
YTM = 5,035%
Risposta
YTM = 5,035%
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 7,998 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
Parte del debito nel WACC
0,4286·5%·(1 − 0,3) = 1,5%
Costo del capitale proprio
re = (6,07% − 1,5%)/0,5714 = 7,998%
Risposta
re = 7,998%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 9,958 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,245
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,5
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,8
Varianza
Var(X) = 3,8 − 1,5² = 1,55
σ = √1,55 = 1,245
Risposta
σ = 1,245
12.Probabilità
Risposta: E(G) = 3 €
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 12 (p = 0,3), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)
Valore atteso
E(G) = 12·0,3 + 27·0,05 − 3·0,65 = 3 €
Risposta
E(G) = 3 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,6377
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (247,75 − 250)/5 = −0,45
z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8
Area compresa
P = Φ(1,8) − Φ(−0,45) = 0,9641 − 0,3264 = 0,6377
Risposta
P = 0,6377
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 27,95 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
Ritorno a x
x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min
Risposta
x = 27,95 min
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 10,52
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margine di errore
E = 2,145·19/√15 = 10,52
Risposta
E = 10,52
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 0,941 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 29·0,7² = 14,21
Limiti per σ²
14,21/45,722 = 0,3108
14,21/16,047 = 0,8855
Limite per σ
σ = √0,8855 = 0,941 µm
Risposta
σ = 0,941 µm
Intervallo al 95% per σ: [0,5575, 0,941] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,301
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 6,9/√15 = 1,782
Statistica test
t = −4,1/1,782 = −2,301
Risposta
t = −2,301
Con df = 14, il valore critico bilaterale al 5% è 2,145; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 495,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·15/√100 = 3,864
Limite dell'intervallo
L = 499,1 − 3,864 = 495,2
Risposta
L = 495,2
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,99
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 13553 − 129·592/6 = 825
Sxx = 2931 − 129²/6 = 157,5
Syy = 62820 − 592²/6 = 4409
Coefficiente di correlazione
r = 825/√(157,5·4409) = 0,99
Risposta
r = 0,99
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 58,86
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 300/6 = 50
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 465
Retta di regressione
b = 465/157,5 = 2,952
a = 50 − 2,952·21,5 = −13,48
ŷ = −13,48 + 2,952·x
Previsione
ŷ = −13,48 + 2,952·24,5 = 58,86
Risposta
ŷ = 58,86
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