Investi €5 000 al 6% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 15 anni.
PV = €5 000r = 6%t = 15
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €25 0003% / 12N = 48
A = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €30 000 oggi, dura 9 anni e costa €5 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 12%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 9r = 12%
EAC = €
4.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €40 000 rende €9 000 alla fine di ogni anno per 8 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €40 000CF = €9 000n = 8
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 3% e scade tra 11 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 8,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 3%n = 11y1 = 9%y2 = 8,5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 6% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Viene venduta a €1 194. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 6% (2×)n = 6P = €1 194
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Le azioni di un’azienda hanno un beta di 1,3 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 21%, il tasso privo di rischio del 3,5% e il premio per il rischio di mercato del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio re dopo la modifica.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 43, 16, 45, 60, 32, 41.
n = 7
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 26.
μ = 50σ = 12x = 26
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,1, 0,25
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 2 €. Si vincono 4 € con probabilità 0,1 e 100 € con probabilità 0,01; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €2€4: p = 0,1€100: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1093. Trova z con due decimali.
A = 0,1093
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 5 % dei dati (il 5° percentile).
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 70 h, deviazione standard nota 7 h. Modello 2: 40 telefoni, media 82,5 h, deviazione standard nota 3 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 11 parcelle, resa media 10 kg, deviazione standard 5,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 10 parcelle, media 6,5 kg, deviazione standard 3 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 30. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 246,35. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ < 250. Trova il p-value p.
μ₀ = 250σ = 30n = 144x̄ = 246,35H₁: μ < μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 20E = 399%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 6Σx = 21Σy = 344Σx² = 91Σy² = 19910Σxy = 1254
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 12298 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Esponente
r·t = 0,06·15 = 0,9
e0,9 = 2,46
Valore futuro
FV = 5 000·2,46 = €12 298,02
Risposta
FV = €12 298,02
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 553,4 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 25 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €553,36
Risposta
A = €553,36
3.VAN e TIR
Risposta: EAC = 10630 €
Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.
Fattore di rendita
(1 − 1,12−9)/0,12 = 5,328
Prezzo d’acquisto annualizzato
30 000/5,328 = 5 630,37
EAC
EAC = 5 630,37 + 5 000 = €10 630,37
Risposta
EAC = €10 630,37
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 15,29 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−8)/i = 40 000/9 000 = 4,444
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.
i = 15%: 4,487
i = 16%: 4,344
IRR = 15,29%
Risposta
IRR = 15,29%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = 25,02 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €30,00, N = 12
Risolvi numericamente
i = 1,249% per semestre
YTM
YTM = 2·1,249% = 2,498%
Risposta
YTM = 2,498%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,89 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Rendi il beta unlevered
βU = 1,3/(1 + 0,79·0,25) = 1,086
Ricalcola il beta levered al nuovo D/E
βL = 1,086·(1 + 0,79·1,5) = 2,372
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 2,372·4,5% = 14,17%
Risposta
re = 14,17%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,71
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (26 − 50)/12 = −2
Risposta
z = −2
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 2,36
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 2 (p = 0,1), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)
Valore atteso
E(G) = 2·0,1 + 98·0,01 − 2·0,89 = −0,6 €
Risposta
E(G) = −0,6 €
Un valore negativo significa che in media perdi denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,23
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,1093 = 0,8907
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,8907 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,23
Risposta
z = 1,23
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 166,5 cm
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Ritorno a x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Risposta
x = 166,49 cm
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 2,672 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 70 − 82,5 = −12,5
Errore standard
SE = √(7²/30 + 3²/40) = 1,363
Margine di errore
E = 1,96·1,363 = 2,672
Risposta
E = 2,672 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 9,116 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (10·5,5² + 9·3²)/19 = 20,18
sp = 4,493
Margine di errore
E = 2,861·4,493·√(1/11 + 1/10) = 5,616
Intervallo
3,5 ± 5,616 → [−2,116, 9,116]
Risposta
limite superiore = 9,116 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,07215
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 30/√144 = 2,5
z = (246,35 − 250)/2,5 = −1,46
Area della coda
Φ(1,46) = 0,9279
1 − Φ(1,46) = 0,0721
p-value
p = 0,07215
Risposta
p = 0,07215
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 295
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (2,576·20/3)² = 294,9
Arrotonda per eccesso
n = 295
Risposta
n = 295
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,8733
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 1254 − 21·344/6 = 50
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 19910 − 344²/6 = 187,3
Coefficiente di correlazione
r = 50/√(17,5·187,3) = 0,8733
Risposta
r = 0,8733
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 20,35
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 120/5 = 24
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Retta di regressione
b = 146/40 = 3,65
a = 24 − 3,65·6 = 2,1
ŷ = 2,1 + 3,65·x
Previsione
ŷ = 2,1 + 3,65·5 = 20,35
Risposta
ŷ = 20,35
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