Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 8 anni. Il tasso di interesse è il 4% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 4%n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 2,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €30 0002,4% / 12N = 60
I = €
3.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €14 000 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €14 000S = €10 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €50 000 e restituisce €36 500, €22 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −50 000CF1 = 36 500CF2 = 22 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 11 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 7 anni e quota €950. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%n = 7P = €950
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €6 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €5 000 000. Il costo del capitale proprio è del 13%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €19,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €5 900 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,30 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €11 700 000 e un costo al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 21, 10, 43, 59, 59, 21.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 173,2?
μ = 170σ = 8x = 173,2
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 8p = 0,25
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9676. Trova z con due decimali.
A = 0,9676
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 95 % dei dati (il 95° percentile).
μ = 500σ = 40P = 95%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 7 elementi ha media 21,5 e deviazione standard s = 14,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 7x̄ = 21,5s = 14,599%t(6) = 3,707
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 36. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 36E = 2,595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 118,5 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,5s = 5n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 25 misure ha media 95,7. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 95,7σ = 8n = 2590%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (4,5, 56). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(4,5, 56)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 33664 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7307)/0,04 = 6,733
Valore attuale
PV = 5 000·6,733 = €33 663,72
Risposta
PV = €33 663,72
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 1866 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,002, N = 60
A = 30 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−60) = €531,10
Interessi totali
I = N·A − P = 60·531,1 − 30 000 = €1 865,95
Risposta
I = €1 865,95
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = 2329 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
14 000·2,487 = 34 815,93
Valore attuale del valore residuo
10 000/1,331 = 7 513,15
NPV
NPV = −40 000 + 34 815,93 + 7 513,15 = €2 329,08
Risposta
NPV = €2 329,08
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,21 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 363,64
NPV(15%) = −1 625,71
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €20,00, i = 0,015, N = 22
Valore attuale delle cedole
€20,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €372,42
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7207 = €720,69
Prezzo
P = €1 093,10
Risposta
P = €1 093,10
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,959 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Risolvi numericamente
P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €947,94
YTM = 7,959%
Risposta
YTM = 7,959%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,588 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 0,4
Tavola della normale standard
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Risposta
P = 0,3446
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 0,7
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varianza
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Risposta
Var(X) = 0,7
12.Probabilità
Risposta: P = 0,3671
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,758 = 0,1001
P(X = 1) = 8·0,25·0,757 = 0,267
Sommale
P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671
Risposta
P = 0,3671
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 2,14
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,9676)/2 = 0,9838
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9838 dentro la tabella e leggi z.
z = 2,14
Risposta
z = 2,14
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 565,8 h
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Ritorno a x
x = 500 + 1,645·40 = 565,8 h
Risposta
x = 565,8 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 20,32
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Margine di errore
E = 3,707·14,5/√7 = 20,32
Risposta
E = 20,32
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 797
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·36/2,5)² = 796,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 797
Risposta
n = 797
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Statistica test
t = (118,5 − 120)/0,8333 = −1,8
Risposta
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 98,33
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·8/√25 = 2,632
Limite dell'intervallo
U = 95,7 + 2,632 = 98,33
Risposta
U = 98,33
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9587
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 314/6 = 52,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Syy = Σ(y − ȳ)² = 549,3
Coefficiente di determinazione
r² = 96²/(17,5·549,3) = 0,9587
Risposta
r² = 0,9587
Circa il 95,87% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = −1,55
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 263/5 = 52,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33
Retta di regressione
b = 33/10 = 3,3
a = 52,6 − 3,3·3 = 42,7
ŷ = 42,7 + 3,3·x
Valore previsto
ŷ = 42,7 + 3,3·4,5 = 57,55
Residuo
e = 56 − 57,55 = −1,55
Risposta
e = −1,55
Il punto si trova sotto la retta.
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