Ti servono €10 000 tra 8 anni. Un conto rende il 3,6 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €10 0003,6% / 4n = 8
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Risparmi €500 alla fine di ogni mese per 21 anni. Il conto rende il 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.
A = €5004,2% / 12N = 252
FV = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €400 000 oggi. Genera €22 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 1% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €400 000CF1 = €22 000g = 1%r = 8%
NPV = €
4.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 000, €6 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 6 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 4% e scade tra 8 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 3% al 5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 4%n = 8y1 = 3%y2 = 5%
ΔP = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 14 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 5%) viene venduta a €1 106. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 050. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 5%P = €1 106prezzo di richiamo = €1 050richiamo tra 3 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €5 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 7,13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €17,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €960 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 2%rm = 8%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 51, 21, 35, 19, 28.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 85.
μ = 70σ = 15x = 85
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,2, 0,1
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?
n = 6p = 0,25k = 2
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 82,75 e 130,75 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 130,75
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,04 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,015 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 11 elementi ha media 27,5 e deviazione standard s = 14,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 11x̄ = 27,5s = 14,590%t(10) = 1,812
E =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 28E = 1,599%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 71,28 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,28s = 12n = 100
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 20E = 390%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5, 20). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(5, 20)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 7507 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·8 = 32
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,332 = €7 507,28
Risposta
PV = €7 507,28
2.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 201716 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 22 000/(0,08 − 0,01) = 314 285,71
NPV
NPV = 314 285,71 − 400 000 = −€85 714,29
Risposta
NPV = −€85 714,29
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 16,02 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(15%) = 132,33
NPV(20%) = −486,11
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 15 + 5·132,33/(132,33 − (−486,11)) = 16,07%
esatto: NPV(16,02%) = 0 → IRR = 16,02%
Risposta
IRR = 16,02%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −134,8 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1106 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 2%: €1 133,63
y = 3%: €1 102,33
YTC = 2,881%
Risposta
YTC = 2,881%
Il rendimento a scadenza è del 3,997%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: re = 8,994 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
Parte del debito nel WACC
0,4444·6%·(1 − 0,2) = 2,133%
Costo del capitale proprio
re = (7,13% − 2,133%)/0,5556 = 8,994%
Risposta
re = 8,994%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,318 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (85 − 70)/15 = 1
Risposta
z = 1
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 1,528
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05
Area compresa
P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547
Risposta
P = 0,8547
14.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9452
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standardizza
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Risposta
P = 0,9452
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 7,922
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Margine di errore
E = 1,812·14,5/√11 = 7,922
Risposta
E = 7,922
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 2313
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·28/1,5)² = 2312
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 2313
Risposta
n = 2313
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,1
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Statistica test
t = (71,28 − 75)/1,2 = −3,1
Risposta
t = −3,1
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 121
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,645·20/3)² = 120,3
Arrotonda per eccesso
n = 121
Risposta
n = 121
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9979
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 171/6 = 28,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 265
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1008
Coefficiente di correlazione
r = 265/√(70·1008) = 0,9979
Risposta
r = 0,9979
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 2,524
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 146/6 = 24,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Retta di regressione
b = 240/70 = 3,429
a = 24,33 − 3,429·7 = 0,3333
ŷ = 0,3333 + 3,429·x
Valore previsto
ŷ = 0,3333 + 3,429·5 = 17,48
Residuo
e = 20 − 17,48 = 2,524
Risposta
e = 2,524
Il punto si trova sopra la retta.
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