Una rendita paga €1 500 alla fine di ogni anno per 12 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €1 500i = 8%n = 12
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €60 000 oggi e rende €17 000 alla fine di ogni anno per 6 anni. Il costo del capitale è il 8%. Supponi che i flussi di cassa arrivino in modo uniforme durante ogni anno. Trova il periodo di recupero attualizzato DPB in anni.
Il progetto A costa €30 000 e rende €17 000, €12 000, €6 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €35 000 e rende €9 000, €14 000, €19 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Acquisti un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 2%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 7,5%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 2%n = 12y0 = 7%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 10 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 7%) viene venduta a €1 198. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 070. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 7%P = €1 198prezzo di richiamo = €1 070richiamo tra 6 anni
YTC = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €3 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni quotate €46,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €93 000 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,50 per azione, e i dividendi crescono del 5% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €186 000 000 e un costo al lordo delle imposte del 6%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 58, 10, 55, 40, 13, 41.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 82,5?
μ = 70σ = 10x = 82,5
P =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la deviazione standard σ di X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,15, 0,05, 0,25, 0,35
σ =
12.ProbabilitàDifficile
Giocare a un gioco costa 1 €. Si vincono 2 € con probabilità 0,25 e 50 € con probabilità 0,05; altrimenti non si vince nulla. La posta non viene restituita. Trova il guadagno netto atteso E(G) per partita.
posta = €1€2: p = 0,25€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,8385. Trova z con due decimali.
A = 0,8385
z =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 80% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 100 puntiσ = 15 punti80%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 elementi ha media 11,5 e deviazione standard s = 19. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 16x̄ = 11,5s = 1995%t(15) = 2,131
limite inferiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 18. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 18E = 2,590%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 120; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 20. Un campione casuale di 64 osservazioni ha media 116,1. Verifica H₀: μ = 120 contro H₁: μ < 120. Trova il p-value p.
μ₀ = 120σ = 20n = 64x̄ = 116,1H₁: μ < μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 100 misure ha media 498,2. La deviazione standard della popolazione è 10. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 498,2σ = 10n = 10090%
L =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (9, 26). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(9, 26)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 11304 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3971)/0,08 = 7,536
Valore attuale
PV = 1 500·7,536 = €11 304,12
Risposta
PV = €11 304,12
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 238,7 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 12 000·0,006/(1 − 0,6984) = €238,75
Risposta
A = €238,75
3.VAN e TIR
Risposta: DPB = 4,319 anni
Periodo di recupero (payback): il tempo necessario perché i flussi di cassa cumulati ripaghino l’investimento iniziale. Si assume che la liquidità entri in modo uniforme durante ogni anno, quindi l’ultima parte è una frazione d’anno. Il payback semplice ignora il valore temporale del denaro; il payback attualizzato usa invece i flussi di cassa attualizzati.
Flussi di cassa attualizzati e cumulati
anno 1: 17 000/1,08 = 15 740,74 → Σ = 15 740,74
anno 2: 17 000/1,166 = 14 574,76 → Σ = 30 315,50
anno 3: 17 000/1,26 = 13 495,15 → Σ = 43 810,65
anno 4: 17 000/1,36 = 12 495,51 → Σ = 56 306,16
anno 5: 17 000/1,469 = 11 569,91 → Σ = 67 876,07
Frazione dell’ultimo anno
DPB = 4 + 3 693,84/11 569,91 = 4,319
Risposta
DPB = 4,319 anni
Il payback attualizzato è sempre più lungo del payback semplice (3,529 anni).
4.VAN e TIR
Risposta: r* = 6,551 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 000 − 17 000 = −8 000
ΔCF2 = 14 000 − 12 000 = 2 000
ΔCF3 = 19 000 − 6 000 = 13 000
TIR della differenza
NPVΔ(6%) = 147,87
NPVΔ(7%) = −117,89
r* = 6,551%
Risposta
r* = 6,551%
Verifica: al 6,551% entrambi i VAN valgono €1 484,40.
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 2,453 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1198 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 4%: €1 212,59
y = 5%: €1 153,75
YTC = 4,242%
Risposta
YTC = 4,242%
Il rendimento a scadenza è del 4,498%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·11% + 0,5714·3%·(1 − 0,25) = 6%
Risposta
WACC = 6%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,42 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale proprio
D1 = 1,5·1,05 = €1,58
re = 1,575/46,5 + 0,05 = 8,387%
Valori di mercato
E = 4 000 000·€46,50 = €186 000 000
V = €372 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8,387% + 0,5·6%·(1 − 0,258) = 6,42%
Risposta
WACC = 6,42%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 20,45
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Risposta
P = 0,8944
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,562
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Esiti netti
G: 1 (p = 0,25), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,7)
Valore atteso
E(G) = 1·0,25 + 49·0,05 − 1·0,7 = 2 €
Risposta
E(G) = 2 €
Un valore positivo significa che in media guadagni denaro.
13.Distribuzione normale
Risposta: z = 1,4
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = (1 + 0,8385)/2 = 0,9192
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,9192 dentro la tabella e leggi z.
z = 1,40
Risposta
z = 1,40
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 112,6 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,8
z dalla tabella
z ≈ 0,84
Di nuovo nelle unità originali
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 punti
Risposta
x = 112,6 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 1,378
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margine di errore
E = 2,131·19/√16 = 10,12
Intervallo
11,5 ± 10,12 → [1,378, 21,62]
Risposta
limite inferiore = 1,378
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 141
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·18/2,5)² = 140,3
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 141
Risposta
n = 141
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,05938
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5
z = (116,1 − 120)/2,5 = −1,56
Area della coda
Φ(1,56) = 0,9406
1 − Φ(1,56) = 0,0594
p-value
p = 0,05938
Risposta
p = 0,05938
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 496,6
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·10/√100 = 1,645
Limite dell'intervallo
L = 498,2 − 1,645 = 496,6
Risposta
L = 496,6
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9819
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 379,3
Coefficiente di correlazione
r = 160/√(70·379,3) = 0,9819
Risposta
r = 0,9819
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 3,7
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 74/5 = 14,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Retta di regressione
b = 100/40 = 2,5
a = 14,8 − 2,5·6 = −0,2
ŷ = −0,2 + 2,5·x
Valore previsto
ŷ = −0,2 + 2,5·9 = 22,3
Residuo
e = 26 − 22,3 = 3,7
Risposta
e = 3,7
Il punto si trova sopra la retta.
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