Una carta di credito applica un tasso nominale annuo del 18%, capitalizzato semestralmente. Trova il tasso annuo effettivo EAR in percentuale.
r = 18%m = 2
EAR = %
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €30 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
P = €30 0007,2% / 12N = 72
I = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €9 000, €10 000, €9 000. Il costo del capitale è del 6 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €15 000, €12 000, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 15 000CF2 = 12 000CF3 = 9 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 7%YTM = 5%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 6% scade tra 8 anni e quota €910. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 6%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,75. Il suo costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,75re = 10%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 000 000 azioni quotate €39,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €39 500 000. Ha appena pagato un dividendo di €1,80 per azione, e i dividendi crescono del 4% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €39 500 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 5 di essi superi 411,6 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 411,6 kg
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i punteggi del QI sono distribuiti normalmente con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trascina la soglia in modo che il 30% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 100 puntiσ = 15 punti30%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 74,5 h, deviazione standard nota 5 h. Modello 2: 50 telefoni, media 65 h, deviazione standard nota 5 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 59 kg, deviazione standard 3 kg. Gruppo di parcelle 2: 8 parcelle, media 56,5 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 56,38 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 56,38s = 15n = 16
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ > 500 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 25. In realtà la media è 505,25. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 500μ = 505,25σ = 25n = 100α = 0,10
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 24?
n = 6ŷ = 24
x =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: EAR = 18,81 %
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso per periodo
r/m = 0,18/2 = 0,09
Capitalizza su un anno
EAR = (1 + 0,09)2 − 1 = 1,188 − 1 = 18,81%
Risposta
EAR = 18,81%
Il tasso annuo effettivo è sempre superiore al tasso nominale quando gli interessi vengono capitalizzati più di una volta all’anno.
2.Valore temporale del denaro
Risposta: I = 7034 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Rata mensile
i = 0,006, N = 72
A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−72) = €514,36
Interessi totali
I = N·A − P = 72·514,4 − 30 000 = €7 033,64
Risposta
I = €7 033,64
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5053 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 9 000/1,06 = 8 490,57
CF2/(1 + 0,06)2 = 10 000/1,124 = 8 899,96
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Sommali
NPV = €−5 052,90
Risposta
NPV = €−5 052,90
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 23,66 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 1 331,02
NPV(25%) = −456,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €35,00, i = 0,025, N = 10
Valore attuale delle cedole
€35,00·(1 − 0,7812)/0,025 = €306,32
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7812 = €781,20
Prezzo
P = €1 087,52
Risposta
P = €1 087,52
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 7,539 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Risolvi numericamente
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,539%
Risposta
YTM = 7,539%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,827 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (56,25 − 50)/5 = 1,25
Risposta
z = 1,25
11.Probabilità
Risposta: σ = 1,314
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 3,7, Var(X) = 4,51, σX = 2,124
Trasformazione lineare
σY = |0,5|·2,124 = 1,062
Risposta
σY = 1,062
La media invece si sposta: E(Y) = 0,5·3,7 + 20 = 21,85.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,6915
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg
Standardizza
z = (411,6 − 425)/26,83 = −0,5
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 92,2 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,3
z dalla tabella
z ≈ −0,52
Di nuovo nelle unità originali
x = 100 − 0,52·15 = 92,2 punti
Risposta
x = 92,2 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 7,855 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 74,5 − 65 = 9,5
Errore standard
SE = √(5²/50 + 5²/50) = 1
Margine di errore
E = 1,645·1 = 1,645
Intervallo
9,5 ± 1,645 → [7,855, 11,14]
Risposta
limite inferiore = 7,855 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 3,797 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·3² + 7·4,5²)/12 = 15,56
sp = 3,945
Margine di errore
E = 1,782·3,945·√(1/6 + 1/8) = 3,797
Risposta
E = 3,797 kg
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 1,701
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Statistica test
t = (56,38 − 50)/3,75 = 1,701
Risposta
t = 1,701
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 20,67 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 25/√100 = 2,5
x̄c = 500 + 1,282·2,5 = 503,2
z sotto la media vera
z = (503,2 − 505,25)/2,5 = −0,818
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z > −0,818) = 79,33%
β = 100% − 79,33% = 20,67%
Risposta
β = 20,67%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9472
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 309/6 = 51,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195
Syy = Σ(y − ȳ)² = 573,5
Coefficiente di determinazione
r² = 195²/(70·573,5) = 0,9472
Risposta
r² = 0,9472
Circa il 94,72% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 9,059
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.