Ti servono €50 000 tra 5 anni. Un conto rende il 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.
FV = €50 0006% / 12n = 5
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un mutuo di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni al 4,8% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto resta da pagare subito dopo la rata alla fine dell’anno 16? Trova il debito residuo B.
P = €250 0004,8% / 12N = 360k = 192
B = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €22 000, €13 000, €17 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €16 000, €13 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 13 000
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 9 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 7%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 8%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 9y0 = 7%y1 = 8%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 4% scade tra 6 anni e quota €880. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 4%n = 6P = €880
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,4. Il suo costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4,5% e l’aliquota fiscale è del 21%. Trova il WACC.
D/E = 0,4re = 9%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €19,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 28%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 8,5%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 12, 29, 39, 32, 15.
n = 5
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 65.
μ = 70σ = 5x = 65
z =
11.ProbabilitàMedia
Per la distribuzione mostrata, trova la varianza Var(X) di X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilitàDifficile
X ha la distribuzione mostrata e Y = 0,5X + 20. Trova la deviazione standard σY di Y.
Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 164,35 e 179,4 cm? Dai P come numero decimale.
μ = 178σ = 7x1 = 164,35x2 = 179,4
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 80 % dei dati (il 80° percentile).
μ = 250σ = 5P = 80%
x = g
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 2,2. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% calcolato dagli stessi dati?
95%n₁ = 25E₁ = 2,299%
E₂ =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 37. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 37E = 390%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 118,1 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,1s = 15n = 49
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80 viene eseguito con α = 0,10 su un campione di 64; la deviazione standard è nota e vale 12. In realtà la media è 84,2. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 80μ = 84,2σ = 12n = 64α = 0,10
β = %
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3.
n = 5x = 3
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 37069 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso e numero di periodi
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·5 = 60
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,349 = €37 068,61
Risposta
PV = €37 068,61
2.Valore temporale del denaro
Risposta: B = 160229 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Ciò che resta da pagare deve essere estinto esattamente dalle rate rimanenti.
N − k = 360 − 192 = 168
B = 1312·(1 − (1 + 0,004)−168)/0,004 = €160 229,13
Risposta
B = €160 229,13
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −2893 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 22 000/1,12 = 19 642,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 13 000/1,254 = 10 363,52
CF3/(1 + 0,12)3 = 17 000/1,405 = 12 100,26
Sommali
NPV = €−2 893,36
Risposta
NPV = €−2 893,36
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 10,89 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 289,26
NPV(15%) = −1 257,09
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€880 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Risolvi numericamente
P(6%) = €901,65, P(7%) = €857,00
YTM = 6,477%
Risposta
YTM = 6,477%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,444 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€19,50 = €78 000 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 3,5% + 1,3·5% = 10%
Pesi
V = €120 000 000, E/V = 0,65, D/V = 0,35
WACC
WACC = 0,65·10% + 0,35·3,5%·(1 − 0,28) = 7,382%
Risposta
WACC = 7,382%
9.Statistica descrittiva
Risposta: s = 11,5
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (65 − 70)/5 = −1
Risposta
z = −1
11.Probabilità
Risposta: Var(X) = 0,6475
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Media
μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05
Media dei quadrati
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75
Varianza
Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475
Risposta
Var(X) = 0,6475
12.Probabilità
Risposta: σY = 0,8258
Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; aggiungere una costante non cambia la dispersione.
Dispersione di X
μ = 2,85, Var(X) = 2,727, σX = 1,652
Trasformazione lineare
σY = |0,5|·1,652 = 0,8258
Risposta
σY = 0,8258
La media invece si sposta: E(Y) = 0,5·2,85 + 20 = 21,43.
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,5537
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95
z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2
Area compresa
P = Φ(0,2) − Φ(−1,95) = 0,5793 − 0,02559 = 0,5537
Risposta
P = 0,5537
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 254,2 g
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Ritorno a x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Risposta
x = 254,21 g
15.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 2,891
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314
Nuovo margine
E₂ = 2,2·1,314 = 2,891
Risposta
E₂ = 2,891
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 412
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·37/3)² = 411,6
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 412
Risposta
n = 412
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,8867
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143
Statistica test
t = (118,1 − 120)/2,143 = −0,8867
Risposta
t = −0,8867
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 6,451 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media campionaria critica
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 80 + 1,282·1,5 = 81,92
z sotto la media vera
z = (81,92 − 84,2)/1,5 = −1,518
Errore di secondo tipo
potenza = P(Z > −1,518) = 93,55%
β = 100% − 93,55% = 6,451%
Risposta
β = 6,451%
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9949
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 15411 − 147·597/6 = 784,5
Sxx = 3759 − 147²/6 = 157,5
Syy = 63349 − 597²/6 = 3948
Coefficiente di correlazione
r = 784,5/√(157,5·3948) = 0,9949
Risposta
r = 0,9949
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 10,95
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 99/5 = 19,8
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Retta di regressione
b = 118/40 = 2,95
a = 19,8 − 2,95·6 = 2,1
ŷ = 2,1 + 2,95·x
Previsione
ŷ = 2,1 + 2,95·3 = 10,95
Risposta
ŷ = 10,95
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