Investi €8 000 a un tasso nominale del 2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €8 0002% / 12n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Prendi in prestito €20 000 al 7,2% annuo, capitalizzato mensilmente, e rimborsi €400 alla fine di ogni mese. Quanti mesi servono per estinguere il prestito (l’ultima rata può essere più bassa)? Indica il numero di rate N.
P = €20 000A = €4007,2% / 12
N = rate
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €4 000, €8 000, €5 000. Il costo del capitale è del 10 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €10 000, €12 000, €14 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 10 000CF2 = 12 000CF3 = 14 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Acquisti un’obbligazione con 9 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 4,5%) quando il suo rendimento a scadenza è del 9%. Un anno dopo, subito dopo aver incassato la prima cedola, la vendi quando il rendimento a scadenza è del 10%. Trova il tuo rendimento del periodo di detenzione HPR in percentuale.
F = €1 000cedola = 4,5%n = 9y0 = 9%y1 = 10%
HPR = %
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 5%. Trova la duration di Macaulay D in anni.
F = €1 000cedola = 6%n = 5YTM = 5%
D = anni
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,25. Il suo costo del capitale proprio è del 13%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
D/E = 0,25re = 13%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €9,00 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 4% e il rendimento di mercato è del 10%. Trova il WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 10%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 55, 51, 35, 42, 39, 57.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 97,5?
μ = 100σ = 5x = 97,5
P =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 4 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
3 / 4
P =
12.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 9 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 9p = 0,5
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 244 e 257,75 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 244x2 = 257,75
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 46,5 h, deviazione standard nota 4 h. Modello 2: 40 telefoni, media 33 h, deviazione standard nota 4 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,025?
p = 0,5E = 0,02595%
n =
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 20. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 241,44. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ ≠ 250. Trova il p-value p.
μ₀ = 250σ = 20n = 25x̄ = 241,44H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 16 misure ha media 199,5. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 199,5σ = 20n = 1699%
U =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (1,5, 42). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 42)
e =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 9201 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Riordina la formula della rendita
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,006/400 = 0,7
Risolvi con i logaritmi
N = −ln(0,7)/ln(1,006) = 59,62
Arrotonda a rate intere
59 rate intere lasciano un piccolo debito residuo, che viene estinto dall’ultima rata, più bassa.
N = 60
Risposta
N = 60 rate
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −5995 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 4 000/1,1 = 3 636,36
CF2/(1 + 0,1)2 = 8 000/1,21 = 6 611,57
CF3/(1 + 0,1)3 = 5 000/1,331 = 3 756,57
Sommali
NPV = €−5 995,49
Risposta
NPV = €−5 995,49
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 20,14 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(20%) = 57,87
NPV(25%) = −1 896,00
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
IRR ≈ 20 + 5·57,87/(57,87 − (−1 896,00)) = 20,15%
esatto: NPV(20,14%) = 0 → IRR = 20,14%
Risposta
IRR = 20,14%
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: HPR = 2,926 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Duration: la duration di Macaulay è il tempo medio ponderato in cui un’obbligazione paga i suoi flussi di cassa, con i valori attuali dei flussi come pesi: D = Σ t·PVₜ/P. La duration modificata D/(1 + y) stima la variazione percentuale del prezzo per una piccola variazione del rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valore attuale di ogni flusso
t = 1: 60/1,05 = 57,14, t·PV = 57,14
t = 2: 60/1,103 = 54,42, t·PV = 108,84
t = 3: 60/1,158 = 51,83, t·PV = 155,49
t = 4: 60/1,216 = 49,36, t·PV = 197,45
t = 5: 1060/1,276 = 830,54, t·PV = 4 152,69
Duration
P = 1 043,29
D = 4 671,61/1 043,29 = 4,478
Risposta
D = 4,478 anni
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 11,24 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi da D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·6%·(1 − 0,3) = 11,24%
Risposta
WACC = 11,24%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,659 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
11.Probabilità
Risposta: P = 0,1429
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429
Risposta
P = 0,1429
12.Probabilità
Risposta: P = 0,01953
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,59 = 0,001953
P(X = 1) = 9·0,5·0,58 = 0,01758
Sommale
P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953
Risposta
P = 0,01953
13.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,8244
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2
z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55
Area compresa
P = Φ(1,55) − Φ(−1,2) = 0,9394 − 0,1151 = 0,8244
Risposta
P = 0,8244
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 593,1 h
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Ritorno a x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
Risposta
x = 593,05 h
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 15,5 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 46,5 − 33 = 13,5
Errore standard
SE = √(4²/80 + 4²/40) = 0,7746
Margine di errore
E = 2,576·0,7746 = 1,995
Intervallo
13,5 ± 1,995 → [11,5, 15,5]
Risposta
limite superiore = 15,5 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
16.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Ricava n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537
Arrotonda per eccesso
n = 1537
Risposta
n = 1537
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,03235
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (241,44 − 250)/4 = −2,14
Area della coda
Φ(2,14) = 0,9838
1 − Φ(2,14) = 0,0162
p-value
p = 2·0,0162 = 0,03235
Risposta
p = 0,03235
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 212,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·20/√16 = 12,88
Limite dell'intervallo
U = 199,5 + 12,88 = 212,4
Risposta
U = 212,4
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,9453
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 100/6 = 16,67
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48
Syy = Σ(y − ȳ)² = 147,3
Coefficiente di correlazione
r = −48/√(17,5·147,3) = −0,9453
Risposta
r = −0,9453
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 4
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 208/5 = 41,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24
Retta di regressione
b = 24/10 = 2,4
a = 41,6 − 2,4·3 = 34,4
ŷ = 34,4 + 2,4·x
Valore previsto
ŷ = 34,4 + 2,4·1,5 = 38
Residuo
e = 42 − 38 = 4
Risposta
e = 4
Il punto si trova sopra la retta.
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