Investi €3 000 a un tasso nominale del 3,6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 7 anni.
PV = €3 0003,6% / 12n = 7
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 7,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0007,2% / 12N = 72
A = €
3.VAN e TIRMedia
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €15 000, €24 000, €14 000, €18 000. Il costo del capitale è del 12 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €12 000, €16 500 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 12 000CF2 = 16 500
IRR = %
5.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 8% in due rate semestrali e scade tra 5 anni. Il rendimento a scadenza è del 3% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 8%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 3 anni e quota €960. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €2 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
E = €6 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 1 000 000 azioni da €35,50 ciascuna e 10 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 20%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 3,5% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 3,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 11, 34, 19, 52, 29, 52.
n = 6
s =
10.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 462,5.
μ = 500σ = 25x = 462,5
z =
11.ProbabilitàMedia
Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 5 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?
6 / 5
P =
12.ProbabilitàDifficile
Un test ha 8 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 3 risposte corrette?
n = 8p = 0,5k = 3
P =
13.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 246,25 e 256,25 g? Dai P come numero decimale.
μ = 250σ = 5x1 = 246,25x2 = 256,25
P =
14.Distribuzione normaleDifficile
I valori di i voti di un esame sono distribuiti normalmente con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trascina la soglia in modo che il 75% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.
μ = 65 puntiσ = 10 punti75%
x = punti
15.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 30 elementi ha media 66,5 e deviazione standard s = 6. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 30x̄ = 66,5s = 695%t(29) = 2,045
limite superiore =
16.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 20 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 10,9 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 19, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 8,907 e il 2,5% sopra 32,852.
n = 20s = 10,9 µmχ² = 8,907, 32,852
σ = µm
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 47,93 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,93s = 4n = 36
t =
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 95 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 12. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 12E = 2,595%
n =
19.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.
n = 6
r² =
20.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 3858 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,65
A = 20 000·0,006/(1 − 0,65) = €342,90
Risposta
A = €342,90
3.VAN e TIR
Risposta: NPV = −6070 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 15 000/1,12 = 13 392,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 24 000/1,254 = 19 132,65
CF3/(1 + 0,12)3 = 14 000/1,405 = 9 964,92
CF4/(1 + 0,12)4 = 18 000/1,574 = 11 439,33
Sommali
NPV = €−6 070,24
Risposta
NPV = €−6 070,24
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
4.VAN e TIR
Risposta: IRR = 8,711 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 1 394,56
NPV(10%) = −454,55
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €40,00, i = 0,015, N = 10
Valore attuale delle cedole
€40,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €368,89
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,8617 = €861,67
Prezzo
P = €1 230,55
Risposta
P = €1 230,55
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
6.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 4,454 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€960 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(4%) = €972,25, P(5%) = €945,54
YTM = 4,454%
Risposta
YTM = 4,454%
7.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,8 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·6%·(1 − 0,3) = 7,8%
Risposta
WACC = 7,8%
8.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,521 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (462,5 − 500)/25 = −1,5
Risposta
z = −1,5
11.Probabilità
Risposta: P = 0,2727
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Prima e seconda estrazione
P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0,2727
Risposta
P = 0,2727
12.Probabilità
Risposta: P = 0,2188
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Area compresa
P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677
Risposta
P = 0,6677
14.Distribuzione normale
Risposta: x = 71,7 punti
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,75
z dalla tabella
z ≈ 0,67
Di nuovo nelle unità originali
x = 65 + 0,67·10 = 71,7 punti
Risposta
x = 71,7 punti
15.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 68,74
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Margine di errore
E = 2,045·6/√30 = 2,24
Intervallo
66,5 ± 2,24 → [64,26, 68,74]
Risposta
limite superiore = 68,74
16.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 15,92 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 19·10,9² = 2257
Limiti per σ²
2257/32,852 = 68,71
2257/8,907 = 253,4
Limite per σ
σ = √253,4 = 15,92 µm
Risposta
σ = 15,92 µm
Intervallo al 95% per σ: [8,289, 15,92] µm.
17.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,105
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Statistica test
t = (47,93 − 50)/0,6667 = −3,105
Risposta
t = −3,105
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
18.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 89
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Ricava n
n = (1,96·12/2,5)² = 88,51
Arrotonda per eccesso
n = 89
Risposta
n = 89
19.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r² = 0,9722
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 440/6 = 73,33
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2077
Coefficiente di determinazione
r² = 376²/(70·2077) = 0,9722
Risposta
r² = 0,9722
Circa il 97,22% della variabilità di y è spiegato dalla retta.
20.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 48,6
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 282/5 = 56,4
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Retta di regressione
b = 52/10 = 5,2
a = 56,4 − 5,2·5 = 30,4
ŷ = 30,4 + 5,2·x
Previsione
ŷ = 30,4 + 5,2·3,5 = 48,6
Risposta
ŷ = 48,6
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